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| Distinguiremos dos casos : a) cuando los sucesos son independientes. b) Cuando los sucesos son dependientes Probabilidad de la intersección de sucesos independientes Acabamos de ver que si A y B son independientes, se verifica que: P(B| A)=
P(B), o bien P(A ∩ B)= P(A) ∙ P(B). |
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| Si A y B son dos sucesos independientes, se verifican que la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de las
probabilidades de cada uno de ellos: P(A ∩ B)= P(A) ∙ P(B). |
La probabilidad de que dos personas de un
grupo cumplan años el mismo día varia con el número de individuos del grupo.
Para un grupo de 10 personas la probabilidad es aproximadamente 0,1.Para un
grupo de 25 personas aproximadamente 0,5. Por encima de 50 individuos la
probabilidad es casi 1. |
Análogamente, para el caso de tres sucesos independientes , se
tiene:
P(A ∩ B ∩ C)= P(A) ∙ P(B) ∙ P(C)
Probabilidad de sucesos dependientes
A partir de la definición de probabilidad condicionada, se obtiene:
P(A∩B)= P(A) ∙ P(B|A)
o bien:
P(A ∩B)= P(B) ∙ P(A|B)
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Si A y B son dos sucesos dependientes de un mismo
experimento aleatorio , se verifica
que la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto
de la probabilidad de uno de ellos, supuesta no nula, por la probabilidad
del otro, condicionada a la realización del anterior: |
Análogamente para el caso de tres dependientes, se tiene :
| P(A ∩ B ∩ C)= P(A) ∙ P(B|A) ∙ P(C|A∩B) |
Ya que:
P(A∩B∩C) = P[(A∩B)∩C], por asociativa de la unión
= P[(A∩B).P(C |A∩B), por definición de probabilidad
condicionada
= P(A). P(B | A). P(C | A ∩B) por
definición de probabilidad condicionada
Para el caso de n sucesos, esta proporción se conoce con el nombre de teorema de la probabilidad compuesta, y dice así:
| Si A1, A2...,An son n
sucesos dependientes de un mismo experimento aleatorio y tales que la
probabilidad de la realización, simultanea de los n sucesos no es nula , se
verifica entonces: P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1)·P(A2| A1)·...P(An| A1 ∩A2 ∩…∩ An-1) |
Ejercicios resueltos
1.En un examen de física, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que
contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar a dos temas extraídos
al azar del total de temas del cuestionario. Hallar la probabilidad de que los
temas sean de los que el alumno estudió.
| Sea B1="contestar bien el tema primero"; Sea B2="contestar bien el tema segundo". La probabilidad pedida es la del suceso B1∩B2. Sea B2="contestar bien el tema segundo". La probabilidad pedida es la del suceso B1∩B2. Como los sucesos son dependientes, la probabilidad pedida es: P(B1∩B2)= P(B1).P(B2/B1)=
(15/25)·(14/24) = 0.35 En la ilustración de la derecha tenemos B1'="No contestar bien el tema primero" y B2'="No contestar bien el tema segundo", es decir, son los sucesos contrarios de B1 y B2. |
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Conteste las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al estudiante le salga solo un tema que ha estudiado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al estudiante le salgan dos temas que No ha estudiado?
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