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Sean los sucesos:
R1 = "obtener rey en la primera extracción".
R2 = "obtener rey en la segunda extracción".
La probabilidad pedida es P(R1∩R2).
a) Si la carta no se devuelve después de la primera extracción , resulta:
| P(R1∩R2) = P(R1) ∙ P(R2 | R1) = (4 / 40) ∙ (3 / 39) = 1/130 |
Ya que en la segunda extracción solo hay tres reyes y 39 cartas.
b) Si la carta se devuelve después de la primera extracción, la composición de
la baraja antes de la segunda extracción, Es igual que al empezar el
experimento. Por tanto, la probabilidad de rey será la misma en la primera que
en la segunda extracción. Es decir:
| P(R1∩R2) = P(R1) ∙ P(R2/R1) = P(R1)∙ P(R2) = (4/40)∙ (4/40) = 1/100 |
En este caso, como P(R2/R1) = P(R2),
se dice que los sucesos R1 y R2 son independientes; es
decir, la realización del suceso R1 no condiciona la realización de R2.
En cambio es el caso anterior, como P(R2/R1) ≠ P(R2), se
dice que los sucesos R1 y R2 son independientes , pues R1 condiciona a R2.
Dos eventos A y B son independientes si P(B) = P(B/A) Dos eventos A y B son dependientes si P(B) ≠ P(B/A) |
También se tiene que:
Dos eventos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)∙P(B) Dos eventos A y B son dependientes si P(A ∩ B) ≠ P(A)∙P(B) |
Obsérvese que cuando las extracciones se realizan con devolución o reemplazamiento, los sucesos son independientes. En este caso contrario, son dependientes.
Acabamos de obtener una nueva forma para caracterizar la independencia de dos sucesos:
Vamos a tratar de extender el concepto de independencia aleatoria a más de dos sucesos:
Tres sucesos A, B y C son independientes si se verifican simultáneamente las siguientes condiciones:
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Las tres primeras condiciones definen, como ya hemos visto, la
independencia dos a dos. Podría parecer que la cuarta condición es excesiva y
bastaría decir que: tres sucesos son independientes cuando lo son dos; sin
embargo , el matemático ruso, coetáneo de Kolmorogov, S. N. Bernstein,
demostró mediante el siguiente ejemplo la necesidad de la cuarta condición.
Ejemplo de Bernstein
Consideremos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es
E = {1,2,3,4}, tal que los sucesos elementales son equiprobables, y sean
| A = {1,2} | B ={1,3} | C = {1,4} |
tres sucesos de dicho experimento, se tiene:
P(A)=P(B)= P(C)= 2/4 = 1/2
P(A∩B) = P(A ∩C).= P(B∩C)= 1/4
Por tanto, se verifican las tres primeras condiciones de la
definición de independencia, pero no la cuarta, ya que:
P(A∩B ∩C) = 1/4 ≠ P(A)· P(B)·P(C) = 1/8
Con lo que se prueba que la necesidad de las cuatro condiciones anteriormente
expuestas.
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