Precálculo
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Antes de realizar ejercicios de aplicación de las anteriores propiedades, hay que tener claro algunos casos básicos de factorización. Un polinomio es una expresión de la forma general: a0 + a1x + a2x2 + a3x2 + ... +anx2, cona0, a1, a2, a3, an ∈ R; an ≠ 0 y n entero No negativo. Al proceso de expresar este polinomio en forma de un producto, se le llama factorización. Factor ComúnAl factorizar un polinomio se comprueba primero si los términos contienen factores comunes. De ser así, se escribe la expresión como el producto de los factores comunes y el polinomio apropiado, empleando la propiedad distributiva.Ejemplo 1 Factorizar:9x3y − 27x4 Como 9x3 es factor común a los dos términos de la suma, entonces: 9x3y − 27x4 = 9x3(y − 3x) Ejemplo 2 Factorizarb(a − 2) − (a − 2)+m(a − 2) En este caso el factor común a los tres términos dados es (a − 2), es decir: b(a − 2) − 1(a − 2)+m(a − 2) = (a − 2)(b − 1 + m) Ejemplo 3 Factorizar:3x2+7x − 6xy − 14y En este polinomio, no existe un factor común a los cuatro términos de la suma. Pero si se agrupan los términos adecuadamente, se puede lograr la factorización. 3x2 + 7x − 6xy − 14y= (3x2+7x) + ( − 6xy − 14y). Aplicando propiedad distributiva en cada uno de los términos, se tiene que: 3x2 + 7x − 6xy − 14y = (3x2 + 7x)+( − 6xy − 14y) = x(3x + 7) − 2y(3x + 7) Ahora el factor común es 3x + 7, luego: 3x2 + 7x − 6xy − 14y = (3x+7)(x − 2y) Diferencia de CuadradosSean x + a y x − a polinomios. Al efectuar el producto de estos dos polinomios se tiene:(x + a)(x − a) = x2 + ax − ax − a2 = x2 − a2 Es decir: x2 − a2 = (x + a)(x − a) Esta fórmula se utiliza para factorizar la diferencia de dos cuadrados. Ejemplo 1 Factorizar:w8b10 − m6. Expresando cada término como un cuadrado: w8b10 − m6 = (w4b5)2 − (m3)2 = (w4b5 − m3)(w4b5+m3) Ejemplo 2 Expresando cada término como un cuadrado, factorizarx14 −5 x14 − 5=(x7)2 − (√5)2 = (x7 − √5 )(x7+ √5 ) Otros Ejemplos Factor Común y Agrupación de términosa) 36xy − 6y2 = 6y(6x − y) : Factor común b) 12x2y3 − 4x3 y2 = 4x2y2(3y − x) : Factor común c) r2s4t3 + r3s3t2 + r3s2t2 = r2s2t2(s2t + rs + rt2) . Factor Común d) −12xy3 z2 − 28y3 z − 20x2y2z2 = − 4xy2z(3yz + 7y + 5xz) e a2n + 1 + an + 2 + an + 1 , n ∈ z+, Solución: an + 1(an + a + 1) f) y3n − y2n + 1 + y2n, n ∈ z+, Solución: y2n(yn − y + 1) g) a2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) i) 3xy − yz + 3xw − zw =y(3x − z) + w(3x − z) = (y + w)(3x − z) j) 4t3 + 4t2 − t − 1 = 4t2(t + 1) − 1(t + 1) = (4t2 − 1)(t + 1) k) 10a3 + 25 a − 4a2 −10 = 5a(2a2 + 5) − 2(2a2 + 5) = (5a - 2)(2a2 + 5) l) 28 − 16x − 21 x2 +12 x3 = 4(7 − 4x) − 3x2(7 − 4x) = (7 − 4x) (4 − 3x2) m) 6st2 − 9s2t − 2t3 + 27s3 = 27s3 − 9s2t + 6st2 − 2t3 = 9s2(3s − t) + 2t2(3s − t) =(3s − t)(9s2 + 2t2) |
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