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Binomios

1. ax + bx2 = x(a + bx) Extracción Factor Común
2. a2 − b2 = (a + b)(a − b) Diferencia de Cuadrados Perfectos
3. a3 + b3 = (a + b)(a2 − 2ab + b2) Suma de Cubos Perfectos
4. a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) Diferencia de Cubos Perfectos

Trinomios

5. a2 ∓ 2ab + b2 = (a ∓ b)2 Trinomio Cuadrado Perfecto
6. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) De la Forma x2 + bx + c
7. acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) De la Forma ax2 + bx + c

Polinomios

8. ax + bx + ay + by = (x + y)(a + b) Por Agrupación de Términos

Antes de realizar ejercicios de aplicación de las anteriores propiedades, hay que tener claro algunos casos básicos de factorización.

Un polinomio es una expresión de la forma general:

a0 + a1x + a2x2 + a3x2 + ... +anx2, con
a0, a1, a2, a3, anR; an ≠ 0 y n entero No negativo.
Al proceso de expresar este polinomio en forma de un producto, se le llama factorización.

Factor Común

Al factorizar un polinomio se comprueba primero si los términos contienen factores comunes. De ser así, se escribe la expresión como el producto de los factores comunes y el polinomio apropiado, empleando la propiedad distributiva.

Ejemplo 1

Factorizar:
9x3y − 27x4

Como 9x3 es factor común a los dos términos de la suma, entonces:

9x3y − 27x4 = 9x3(y − 3x)

Ejemplo 2

Factorizar
b(a − 2) − (a − 2)+m(a − 2)

En este caso el factor común a los tres términos dados es (a − 2), es decir:

b(a − 2) − 1(a − 2)+m(a − 2) = (a − 2)(b − 1 + m)

Ejemplo 3

Factorizar:
3x2+7x − 6xy − 14y

En este polinomio, no existe un factor común a los cuatro términos de la suma. Pero si se agrupan los términos adecuadamente, se puede lograr la factorización.

3x2 + 7x − 6xy − 14y= (3x2+7x) + ( − 6xy − 14y).

Aplicando propiedad distributiva en cada uno de los términos, se tiene que:

3x2 + 7x − 6xy − 14y = (3x2 + 7x)+( − 6xy − 14y) = x(3x + 7) − 2y(3x + 7)

Ahora el factor común es 3x + 7, luego:

3x2 + 7x − 6xy − 14y = (3x+7)(x − 2y)

Diferencia de Cuadrados

Sean x + a y x − a polinomios. Al efectuar el producto de estos dos polinomios se tiene:

(x + a)(x − a) = x2 + ax − ax − a2 = x2 − a2

Es decir: x2 − a2 = (x + a)(x − a)

Esta fórmula se utiliza para factorizar la diferencia de dos cuadrados.

Ejemplo 1

Factorizar:

w8b10 − m6.

Expresando cada término como un cuadrado:

w8b10 − m6 = (w4b5)2 − (m3)2 = (w4b5 − m3)(w4b5+m3)

Ejemplo 2

Expresando cada término como un cuadrado, factorizar

x14 −5

x14 − 5=(x7)2 − (√5)2 = (x7 − √5 )(x7+ √5 )

Otros Ejemplos

Factor Común y Agrupación de términos

a) 36xy − 6y2 = 6y(6x − y) : Factor común

b) 12x2y3 − 4x3 y2 = 4x2y2(3y − x) : Factor común

c) r2s4t3 + r3s3t2 + r3s2t2 = r2s2t2(s2t + rs + rt2) . Factor Común

d) −12xy3 z2 − 28y3 z − 20x2y2z2 = − 4xy2z(3yz + 7y + 5xz)

e a2n + 1 + an + 2 + an + 1 , n ∈ z+, Solución: an + 1(an + a + 1)

f) y3n − y2n + 1 + y2n, n ∈ z+, Solución: y2n(yn − y + 1)

g) a2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c)

i) 3xy − yz + 3xw − zw =y(3x − z) + w(3x − z) = (y + w)(3x − z)

j) 4t3 + 4t2 − t − 1 = 4t2(t + 1) − 1(t + 1) = (4t2 − 1)(t + 1)

k) 10a3 + 25 a − 4a2 −10 = 5a(2a2 + 5) − 2(2a2 + 5) = (5a - 2)(2a2 + 5)

l) 28 − 16x − 21 x2 +12 x3 = 4(7 − 4x) − 3x2(7 − 4x) = (7 − 4x) (4 − 3x2)

m) 6st2 − 9s2t − 2t3 + 27s3 = 27s3 − 9s2t + 6st2 − 2t3
= 9s2(3s − t) + 2t2(3s − t)
=(3s − t)(9s2 + 2t2)

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