PROBABILIDAD: VARIABLE ALEATORIA

Las variables aleatorias nos rodean. La (desconocida) cantidad de años que un ciudadano va a vivir es una variable aleatoria, como lo es el número de reclamaciones del seguro de automovil que realizará en su vida y la cantidad de celulares que tendrá en una década. También lo es su peso después de la próxima navidad. El número que lanza cuando lanza dados en una mesa en Las Vegas también es una variable aleatoria: el juego siempre está con nosotros en probabilidad. La clave característica en cada una de estas variables aleatorias es que el resultado de interés es un número (un conteo de reclamos de seguro o una medición de peso) y depende de la casualidad. La mayoría de nosotros trata de no tener accidentes o ganar peso, pero de alguna manera esas cosas nos son forzadas por casualidad. Esto lleva a una definición intuitiva de una variable aleatoria.

Definición. Una variable aleatoria es una cantidad numérica cuyo valor depende del azar

Ejemplo. Retomemos el ejemplo 3 de la sección DEFINICIONES DE PROBABILIDAD, en que se consideraba el experimento consistente en responder al azar 3 preguntas con "Verdadero" = V o con "Falso" = F. Ahora el interés es el número de respuestas marcadas con V.

El espacio muestral que está dado por:

S = {(VVV), (VVF), (VFV), (FVV), (VFF), (FVF), (FFV), (FFF)}

se toma con una medida de probabilidad tal que la probabilidad de cada evento elemental, P({w}) sea igual a 1/8. Como el resultado de interés es el número de respuestas marcadas con V, se pueden hacer las siguientes asignaciones:

- Al evento (FFF) se le asigna el número 0 (ya que ninguna respuesta está marcada con V).

- A los eventos (VFF), (FVF) y (FFV) se les asigna a cada uno el número 1 (una respuesta marcada con V en cada evento)

- A los eventos (VVF), (VFV) y (FVV)se les asigna a cada uno el número 2 (dos respuestas marcadas con V en cada evento)

- Al evento (VVV) se le asigna el número 3 (tres respuestas marcadas con V)

Puede observarse que a cada elemento x del espacio muestral S se le asigna un número real, en este caso 0, 1, 2 o 3. Se define así a una función, denotada por X, del espacio muestral Sque toma números reales R. Es decir,

La función X se dice una VARIABLE ALEATORIA definida sobre el espacio muestral S

De esta forma pasamos de la idea intuitiva de una Variable Aleatoria a la definición:

La idea de esta definición se puede visualizar mirando por ejemplo la cantidad de caras cuando se lanzan dos monedas. Cuando se observan los resultados de los lanzamientos, asignamos resultados numéricos a los resultados físicos, representando como C para Cara y S para Sello (o cruz) y vemos que

Así, por definición, una variable aleatoria X es una función con dominio en el espacio muestral y el rango es un subconjunto de los números reales.

Notación. La distinción entre X y x

Las variables aleatorias generalmente se indican con letras mayúsculas. Si tuviéramos que representar la variable aleatoria para el número de caras en dos lanzamientos de monedas, podríamos usar X para representar la variable aleatoria completa que puede tomar en cualquiera de los valores 0, 1 o 2. Sin embargo, los resultados específicos son generalmente referido al uso de letras minúsculas. Por lo tanto, se pueden ver declaraciones como "sea x el número de caras en el primer lanzamientos de dos monedas". Esto se refiere a un único resultado realizado, no a la variable aleatoria completa. Esto suele confundir a los estudiantes, y la confusión se ve incrementada por la convención que si se arrojan x caras, la notación se escribe "X = x". los lectores deben tener en cuenta que no estamos mezclando arbitrariamente letras mayúsculas y minúsculas en nuestra notación. La notación tiene un propósito, y la declaración "X = x" no es una tontería. Significa que la variable aleatoria X se realizó con un valor específico x.

Ejemplo. De una urna que contiene 4 bolas verdes y 3 azules, se extraen dos bolas de manera sucesiva y sin reemplazo. Los posibles resultados de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas azules, es

Ahora momento de practicar con Ejercicio interactivo de Variables Aleatorias