DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA

Existen muchas situaciones que involucran la presencia de varias variables aleatorias y en que es de interés el comportamiento conjunto, or ejemplo

Una estación meteorológica puede registrar la velocidad y dirección del viento, la humedad, presión y la temperatura del aire.

Su médico puede registrar su peso, estatura, presión arterial, nivel de colesterol, entre otras.

En un experimento químico se podría medir la cantidad de precipitado P, la del volumen V del gas liberado y la Temperatura del sistema, lo que daría lugar a un espacio muestral tridimensional (P,V,T)

Si X y Y son dos variables aleatorias discretas, la distribución de probabilidad para sus ocurrencias simultáneas (y por lo tanto conjuntas), se representa con una función multidimensional f(x,y), para cualquier par de valores (x, y) en el rango de las variables aleatorias X y Y. Esto es:

Definición. La función f(x,y) es una Distribución de Probabilidad Conjunta o Función de Masa de Probabilidad de las variables aleatorias discretas X y Y, si

Ejemplo. Se seleccionan al azar dos lápices de colores de una caja que contiene 3 lápices azules, 2 rojos y 3 amarillos. Si X es el número de lápices azules y Y el número de lápices rojos seleccionados, calcule

a) la función de probabilidad conjunta f(x,y)

b) P[(X, Y) ∈ A], donde A es la región {(x, y)|x + y ≤ 1}.

Solución: Los posibles pares de valores (x, y) y su interpretación, son:

• (0, 0) No resulta ninguno azul y ninguno rojo (ambos son amarillos).
• (0, 1) Ninguno azul y uno rojo, (uno amarillo y uno rojo).
• (1, 0) Ninguno rojo y uno azul, (uno amarillo y uno azul).
• (1, 1) Uno azul y uno rojo (ninguno amarillo).
• (0, 2) Ambos rojos.
• (2, 0) Ambos azules.

a) Ahora bien, f(0,1) representa la probabilidad de escoger un lápiz rojo y uno amarillo. Para efectuar el cálculo de esta probabilidad, se requiere:

• ₈C₂ = 28 : El número de formas igualmente probables de seleccionar 2 lápices cualesquiera de los 8
• ₂C₁ = 2 : El número de formas igualmente probables de seleccionar 1 lápiz rojo de 2 lápices rojos.
• ₃C₁ = 3 : El número de formas igualmente probables de seleccionar 1 lápiz amarillo de 2 lápices amarillos.

Luego la forma de seleccionar los 2 lápices, uno rojo y uno amarillo, es

₂C₁ * ₃C₁ = 6

Por consiguiente, f(0,1) = 6 / 28 = 3 / 14. De forma similar, se obtiene la tabla 1. Nótese que la suma de las probabilidades da 1.

b) La probabilidad de que (X,Y) caiga en la región A es:

representación. La representación más natural de una distribución discreta conjunta es como una matriz (o como la tabla 1 del ejemplo) de distribución, con filas y columnas indexadas por x e y, y la entrada xy como f(x,y). Esto es análogo a la representación de distribuciones discretas ordinarias como una tabla de una sola fila. Como en el caso unidimensional, las entradas en una matriz de distribución debe ser no negativo y agregar hasta 1.

Distribuciones marginales. Las distribuciones de X y Y cuando se consideran por separado.

Conexión con la matriz de distribución: las distribuciones marginales f_X(x) y f_Y(y) se puede obtener de la matriz de distribución como las sumas de las filas y las sumas de las columnas de las entradas. Estas sumas se pueden ingresar en los "márgenes" de la matriz como una columna y una fila. Así en la tabla 1, los totales de las columnas dan las distribuciones marginales de X, y los totales de los renglones da las distribuciones marginales de Y.

Ejemplo. Muestre que los totales de las columnas y los renglones de la tabla 1 dan las distribuciones marginales de sólo X y de solo Y.

Para la variable aleatoria X se observa que:

f_X(0)= f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) = 3/28 + 3/14 + 1/28 = 5/14

f_X(1)= f(1,0) + f(1,1) + f(1,2) = 9/28 + 3/14 + 0 = 15/28

f_X(2)= f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) = 3/28 + 0 + 0 = 3/28

que son los totales por columna de la tabla 1. Para la variable aleatoria Y:

f_Y(0)= f(0,0) + f(1,0) + f(2,0) = 3/28 + 9/28 + 3/28 = 15/28

f_Y(1)= f(0,1) + f(1,1) + f(2,1) = 3/14 + 3/14 + 0 = 3/7

f_Y(2)= f(0,2) + f(1,2) + f(2,2) = 1/28 + 0 + 0 = 1/28

que son los totales por renglón de la tabla 1.

Luego, se pueden representar estas distribuciones marginales como:

Distribucion Condicional Conjunta para Variables Aleatorias Discretas

En la introducción a las variables aleatorias, se estableció que el valor x que toma la variable aleatoria X representa un evento que es un subconjunto del espacio muestral S. Al utilizar la definición de Probabilidad condicional:

De una forma análoga se tiene ahora para distribuciones conjuntas:

Definición. Sean X y Y dos variables aleatorias discretas. La distribución condicional de la variable aleatoria X, dado que Y = y, es De forma análoga, la distribución condicional de la variable aleatoria Y, dado que X = x, es

Ejemplo. De acuerdo al problema representado en la tabla 1, calcule P(X=0|Y=1)

Solución: