FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA

Existen muchos problemas en los que se desea calcular la probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria X esté por debajo o sea igual a algún valor x. Al escribir F(x) = P(X ≤ x) para cualquier número real x, se define F(x)como la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X

Todas las variables aleatorias (discretas y continuas) tienen una función de distribución o función de distribución acumulativa , abreviado fda o cdf en Inglés (cumulative distribution function).

Definición.Para una variable aleatoria discreta, la función de distribución acumulada F(x), con distribución de probabilidad f(x) es

Como se observa, F(x) es una función que da la proporción de valores de X menores o iguales que x, para cada valor x. Se encuentra sumando todas las probabilidades hasta el valor x.

Si X es una variable aleatoria (v.a.) con f.d.a F(x), entonces:
⛧ P(X ≤ b) = F(b)
⛧ P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
⛧ P(X < b) = lim_{x ↦ b-} F(x) = F(b^-)
⛧ P(a < X < b) = lim_{x ↦ b-} F(x) − F(a) = F(b^-) − F(a)

Propiedades de la f.d.p. F(x). La f.d.p. F(x) de una v.a. X, satisface las siguientes propiedades:
(i) F(x) es una función creciente
(ii) lim_{x ↦ -∞} F(x) = 0
(iii) lim_{x ↦ ∞} F(x) = 1
(iv) F(x) es continua a la derecha.

Observación: Al definir F(x) y de acuerdo a las propiedades anteriores, esta es una función definida a trozos, escalonada creciente y el dominio se debe definir en todos los reales.

Ejemplo. Del experimento que consiste en responder al azar tres preguntas con Verdadero o Falso (V / F) y con la variable aleatoria definida como el número de respuestas marcadas con V. X toma los valores 0, 1, 2 o 3, es decir, el rango de la función (variable aleatoria) X es el conjunto {0, 1, 2, 3}. Encontrar a) la función de probabilidad y b) la función de distribución.

Solución. El espacio muestral S = {(FFF),(FFV), (FVF), (VFF), (FVV), (VFV), (VVF), (VVV)}, así a) La función de probabilidad es:

y b)La función de Distribución es:

De donde según la definición de la función de Distribución Acumulada,

F(0) = P(X ≤ 0) = f(0) = 1/8

F(1) = P(X ≤ 1) = f(0) + f(1) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2

F(2) = P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8

F(3) = P(X ≤ 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1

La gráfica de una Función de Distribución Acumulada de una Variable Discreta, es escalonada y creciente. Para el ejemplo, es:

Grafica de Función de Distribución Acumulada de la Variable Discreta del ejemplo

Es momento de practicar con nuestro Ejercicio interactivo de Funcion de Distribución Acumulada de Variables Aleatorias Discretas