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La teoría de la probabilidad se utiliza para la toma de decisiones y la gestión de riesgos en toda la civilización moderna. Los individuos usan la probabilidad diariamente, conozcan o no la teoría matemática. Si un pronosticador del clima dice que hay 90% de posibilidades de lluvia, la gente lleva sombrillas. La "probabilidad del 90% de lluvia" es una declaración de una probabilidad. Si un médico le dice a un paciente que una cirugía tiene un 50% de posibilidades de un efecto secundario desagradable, es probable que el paciente quiera ver formas alternativas de tratamiento. Si un famoso analista bursátil declara que hay una posibilidad de 90% de una caída severa en el mercado bursátil, la gente vende sus acciones. Todos nosotros tomamos decisiones sobre el clima, nuestras finanzas y nuestra salud en base a declaraciones porcentuales que en realidad son declaraciones de probabilidad.
Debido a que las probabilidades son tan importantes en nuestro análisis del riesgo, los profesionales en una amplia gama de especialidades estudian la probabilidad. Los expertos en clima usan la probabilidad para llegar a los porcentajes dados en sus pronósticos. Los investigadores médicos usan la teoría de la probabilidad en su estudio de la efectividad de nuevos medicamentos y de cirugías. Las firmas de Wall Street contratan matemáticos para aplicar la probabilidad en el estudio de inversiones. La industria de seguros tiene una larga tradición en el uso de la probabilidad para administrar los riesgos. Si usted desea comprar un seguro de automóvil, el precio que pagará se basa en la probabilidad de que tenga un accidente. (Este precio se denomina prima). El seguro de vida se vuelve más costoso de comprar a medida que el usuario o cliente (el asegurado) envejece, porque hay una mayor probabilidad de que fallezca. Las tasas de seguro de salud colectivo se basan en el estudio de la probabilidad de que el grupo tenga un cierto nivel de reclamaciones.
Las personas que nunca han estudiado el tema de la Probabilidad entienden las ideas intuitivas detrás del concepto matemático de probabilidad. Los docentes generalmente comienzan un curso de probabilidad preguntándoles a los estudiantes si conocen la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda. La respuesta obvia es 50% o ½, y la mayoría de las personas dan la respuesta obvia sin dudarlo. El razonamiento detrás de esta respuesta es simple. Hay dos posibles resultados del lanzamiento de moneda, cara o sello (o cruz) - en Inglés: cabeza y cola (Head/tail). Si la moneda sale cara, solo se ha producido uno de los dos resultados posibles. Hay una posibilidad en dos de lanzar una cara.
El razonamiento simple aquí se basa en una suposición: la moneda debe ser confiable, de modo que las caras y los sellos sean igualmente probables. Si tu amigo apostador, "El rápido Eddie", te invita a un juego de lanzamiento de monedas, puedes sospechar que ha alterado la moneda para que pueda obtener tu dinero. Sin embargo, si está usted dispuesto a suponer que la moneda es confiable, al contar las posibilidades se obtiene el ½.
Las probabilidades se evalúan contando en una amplia variedad de situaciones. Los problemas relacionados con los juegos de azar que involucran dados y cartas se resuelven generalmente usando el conteo. Por ejemplo, supongamos que está lanzando un solo dado de seis caras cuyos lados llevan los números 1,2,3,4,5 y 6. Usted desea apostar al evento de que caerá un número menor que 4. La probabilidad de este evento es 3/6, ya que los resultados 1,2 y 3 son menores que 4 y hay seis resultados posibles (se supone cada uno de estos igualmente probable). El enfoque de probabilidad utilizado se resume de la siguiente manera:
| "Definición 2.1 La probabilidad de un evento A es el cociente entre
el número de casos favorables al evento y el número de casos posibles". Si indicamos la probabilidad del evento A por P(A), podemos expresar esta definición como:
|
En este curso se va a introducir un marco matemático más preciso para esta definición de conteo.
Hay algunos casos en los que los resultados pueden no ser igualmente probables. Un dado o una moneda pueden ser alterados para que los diferentes resultados no sean igualmente probables. Supongamos que usted arroja una moneda y sospecha que no es confiable. Entonces, la probabilidad de arrojar una cara no se puede determinar mediante el conteo. Pero hay una forma sencilla de calcular esa probabilidad: simplemente arroje la moneda muchas de veces y cuente el número de caras que obtiene. Si lanza la moneda 1000 veces y resultan 650 caras, la mejor estimación de la probabilidad de una cara en un lanzamiento es 650/1000 = 0.65. En este caso, está utilizando una estimación de frecuencia relativa de una probabilidad (concepto que más adelante se va a profundizar), es:
Definición 2.2 Probabilidad de un Evento como una frecuencia relativa.  |
La teoría de probabilidad es hoy en día una parte importante de las matemáticas, con un campo de aplicación en las ciencias naturales, técnicas, sociales, actuariales y fundamental en el desarrollo de la Estadística.
Su inicio se encuentra en una sencilla teoría matemática de los juegos de azar hace cerca de tres siglos. En Francia, el juego era un entretenimiento que dejó sentir la necesidad de un método racional para calcular las probabilidades de diversos juegos. Un jugador, el caballero De Mere, tuvo la idea de consultar en París al famoso matemático Blaise Pascal y a algunos de sus amigos matemáticos, en especial a Pierre Fermat. La correspondencia entre ambos constituye el origen de la teoría moderna de la probabilidad.
Hacia el año 1700 empieza un período de rápido desarrollo para la teoría de la probabilidad, aparecen dos obras fundamentales: Arts Conjectandi (El arte de la Conjetura) escrita por James Bernoulli, publicado en 1713, y The Doctrine of Chances (La Doctrina de las Probabilidades) escrita por De Moivre.
Por entonces se encontró que la terminología y las reglas del Cálculo de la Probabilidad, introducidas para crear una teoría matemática de los juegos de azar, podían aplicarse a diversos problemas de distintos tipos, así en el siglo XVIII aparecen las obras de Laplace como su tratado clásico theorie Analitique des Probabilité. Esta obra contiene una exposición sistemática de la teoría matemática de los juegos de azar y una gran variedad de cuestiones científicas y prácticas. En el siglo XIX se desarrolla la teoría de errores, la matemática actuarial, la mecánica estadística. Durante el siglo XX, este desarrollo continuó y lo sigue hasta el presente, a un ritmo acelerado, las aplicaciones de la teoría de la probabilidad abarcan campos como genética, economía, psicología, ingeniería y muchos otros. El objeto de la teoría de probabilidades es proporcionar un modelo matemático adecuado a la descripción e interpretación de cierta clase de fenómenos observados.
Este material desarrollado para un curso de Probabilidades, tiene como fin facilitar a los estudiantes el estudio de los conceptos básicos de la Teoría de Probabilidad, teniendo en cuenta que está dirigido a actuarios o aspirantes a actuarios, entre los cuales se encuentran profesionales con diferente formación (psicólogos, ingenieros, licenciados, economistas, etc), lo cual hace necesario presentar inicialmente los temas en forma sencilla con poco rigor matemático, y poco a poco ir formalizando los conceptos.
Si las probabilidades se van a evaluar contando los resultados de un experimento de probabilidad, es esencial que se especifiquen todos los resultados. Una persona que no está familiarizada con los dados no sabe que los posibles resultados para un solo dado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Esa persona no puede encontrar la probabilidad de obtener un 1 al lanzar un solo dado porque los resultados básicos son desconocidos En cada experimento de probabilidad bien definido, todos los resultados posibles deben especificarse de alguna manera. El lenguaje de la teoría de conjuntos es muy útil en el análisis de resultados. Los conjuntos se cubren en la mayoría de los cursos de matemáticas modernos, y se supone que el lector está familiarizado con cierta teoría de conjuntos. En aras de la exhaustividad, repasaremos algunas de las ideas básicas de la teoría de conjuntos, pero primero se va a precisar los tipos de experimentos: Deterministas y aleatorios..
En la naturaleza podemos distinguir dos tipos de fenómenos o experimentos: los deterministas (o determinísticos) y los Aleatorios o Experimentos de Probabilidad. :
⋄ Experimentos deterministas. A los experimentos , que se caracterizan porque al repetirlos bajo análogas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado los llamaremos experimentos deterministas.Estos son típicos de las ciencias, como arrojar un objeto y medir su aceleración, o dejar caer un objeto desde la misma altura y medir el tiempo que tarda en llegar al suelo. Estos se rigen por alguna fórmula, de modo que siempre se puede predecir su resultado mediante la aplicación de dicha fórmula.
Ejemplo: Velocidad al llegar al suelo de un cuerpo en caída libre desde una altura dada. Dada que la fórmula es:
Si el cuerpo se deja caer V0 = 0, conocida la altura, de esta fórmula se despeja Vf como la raíz de 2gh, es decir: Vf = √(2gh), y se ingresan los datos. Normalmente se consideran situaciones ideales por el desconocimiento de otros factores, como la fricción con el aire o la misma velocidad del viento. Hay otras fórmulas más específicas que tienen en cuenta estos últimos factores mencionados
Ejemplo: Valor de una deuda adquirida a una tasa de interés compuesta específica después de un tiempo dado. La fórmula en este caso se basa en:
VF = (VP)(1 + i)n
VF = (VP)(1 + i)n = (10.000)⋅(1 + 0.02)5 = $11.040,81
⋄ Experimentos Aleatorios. Son aquellos cuyo resultado no se puede predecir mediante una fórmula. Además, la repeticién del experimento en condiciones similares puede dar lugar a resultados muy distintos.
| Definición 4.1 Experimento Aleatorio. Un experimento se dice aleatorio si su resultado no puede determinarse de antemano |
Ejemplos: lanzar una moneda, lanzar un dado, la herencia de determinadas características de los progenitores, tiempo de efectividad de un medicamento.
| Definición 4.2 Espacio muestral (S) de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. |
Al espacio muestral de un experimento lo designaremos por S.
Cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama elemento o miembro del espacio muestral S, o simplemente punto muestral.
Ahora se repasarán algunos conceptos sobre conjuntos que darán mayor consistencia a estas definiciones.
El enfoque axiomático de la probabilidad se desarrolla utilizando los fundamentos de la Teoría de Conjuntos. Si está familiarizado con la notación de conjuntos, diagramas de Venn y las operaciones básicas de conjuntos (uniones, intersecciones y complementos), entonces tiene un buen comienzo con lo necesario de la teoría de conjuntos. Conjunto es el término más básico en matemáticas. Algunos sinónimos de un conjunto son clase o Colección. En esta parte presentamos el concepto de un conjunto y varias de sus operaciones y luego estudiaremos las propiedades de estas operaciones.
A lo largo de este curso, suponemos que el lector está familiarizado con los siguientes sistemas numéricos:
⋄ El conjunto de los números enteros positivos
ℕ = {1, 2, 3, ...}
⋄ El conjunto de los números enteros
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
⋄ El conjunto de los números Racionales
ℚ = {p/q: p, q ∈ ℤ, con q ≠ 0}
⋄ El conjunto de los números Reales: ℝ
Un conjunto A es una colección de objetos bien definidos, llamados elementos del conjunto A, tal que para cualquier objeto x se cumple:
⋄ x pertenece a A, y se escribe x ∈ A.
⋄ x no pertenece a A, y se escribe x ∉ A.
El conjunto de los resultados posibles al lanzar un dado son los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto que se ha definido. Si el conjunto es lo suficientemente pequeño como para que podamos enumerar fácilmente todos sus elementos, podemos describir el conjunto al enumerar todos sus elementos entre llaves. Para el conjunto anterior, A = {1,2,3,4,5,6}. Para conjuntos grandes o infinitos, se puede utilizar la notación de conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales positivos puede escribirse como:
S = {x|x es un número real y x > 0}
Normalmente se supone que los números son reales, por lo cual el conjunto anterior se escribe como
S: {x|x > 0}.
En la teoría de conjuntos, la cantidad de elementos en un conjunto tiene un nombre especial: la cardinalidad del conjunto. Escribimos n(A) para denotar la cardinalidad de el conjunto A. Si A tiene una cardinalidad finita decimos que A es un conjunto finito. De otra manera, se llama infinito. Para conjuntos infinitos, se escribe n(A) = ∞. Por ejemplo, n(ℝ) = ∞.
Ejercicio: ¿Cuál es la Cardinalidad de los siguientes conjuntos?
a) ∅
b) { ∅ }
c) {a, {a}, {a, {a}}}.
El uso importante de la teoría de conjuntos aquí es proporcionar un lenguaje preciso para tratar los resultados en un experimento de probabilidad (o experimento aleatorio).
Para comparar Números, se utulizan las desigualdades, así: decimos que 5 > 3 para indicar que Cinco es mayor que tres, o -3 > -5 para indicar la correspondiente comparación en cantidades negativas. En el caso de los conjuntos, se utilizan el concepto de subconjunto:
| Definición 5.1. Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A, y se escribe B ⊆ A si y solo si cada elemento de B también es un elemento de A. Si existe un elemento de B que no es elemento de A, entonces se dice que B ⊈ A.
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Para cualquier conjunto A, se tiene que ∅ ⊆ A ⊆ A. Esto quiere decir que cada conjunto tiene al menos dos subcojuntos, el conjunto vacío (que es en general un subconjunto de cualquier conjunto), y el mismo conjunto.
Ejemplo. Sean los conjuntos A = {2, 4, 6}, B = {2, 6}, y C = {4, 6}. Determine cuáles de estos conjuntos son subconjuntos de otros de estos conjuntos
Solución: B ⊆ A, y C ⊆ A.
Ejercicio. Dados tres conjuntos A, B y C, represente con un digrama de Venn A ⊆ B ⊆ C
Ejercicio. Dé el orden de los conjuntos numéricos : ℝ, ℕ, ℚ, ℤ usando ⊂
Ejercicio. Dé el orden de los conjuntos numéricos : ℝ, ℕ, ℚ, ℤ usando Diagrama de Venn.
Ahora, la colección de todos los subconjuntos de un conjunto A, es de gran importancia.
| Definición 5.2. El conjunto potencia de un conjunto A es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto A. Este conjunto se representa por P(A) y tiene 2n(A) elementos. |
Ejemplo. Sea A ={1,2,3}, describa el conjunto potencia de A. Solución: ya que A tiene tres elementos, n(A) = 3, el conjunto potencia de A o P(A) es un conjunto con 23 = 8 elementos, y es:
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}Ejercicio. Encuentre el conjunto Potencia de A = {a, b, c}.
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