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Teniendo en cuenta que el valor esperado de una constante es la misma constante, se tienen algunas propiedades importantes del valor esperado, como:
Para cualquier constante α y variable aleatoria X, E(αX) = α∙E(X) |
Ejemplo: Se sabe que el valor esperado de la variable "Sueldo de los profesores de la Universidad San Marino es de $2.900.000". Por inicio de año, el rector decide incrementar el sueldo de todos los profesores en el 2%. ¿Cuál es el promedio de los nuevos sueldos?
Solución. Al considerar algunos casos particulares, el profesor Forero que es profesional y especialista gana hasta ahora $2.000.000 y con el
incremento para este año del 2% su nuevo sueldo va a ser 2.000.000 + 0.02*2.000.000 = 1.02*2.000.000 = 2.040.000. El profesor
Reynolds es doctor en ingeniería y gana $5.000.000 y con el incremento su nuevo sueldo será 1.02*5.000.000 = $5.100.000. Luego, dadas las condiciones iniciales,
se tiene E(X) = 2.900.000, como luego
todos los sueldos se incrementan en 2%, es decir, se multiplican por 1.02, entonces el nuevo valor esperado es
E(1.02X) = 1.02∙E(X) = 1.02∙2.900.000 = 2.958.000
Ejemplo. El almacén "Baterías Mundial" que vende su propia marca de batería y da garantía sobre la misma, encuentra que mensualmente se tienen los siguientes reclamos por garantía:
| Número de reclamos (x) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X) = | 0.71 | 0.21 | 0.07 | 0.01 |
Si cada reclamo por garantía le genera un costo de $100.000, ¿Cuál es el valor esperado del costo por garantía?
Solución. El valor esperado de número de reclamos por garantía, es:
E(X) = 0∙0.71 + 1∙0.21 + 2∙0.07 + 3∙0.01 = 0.38 .
Se puede tomar otra variable Y = "Costo por garantía", como:
| Costo de reclamos (y) | 0 | 100.000 | 200.000 | 300.000 |
|---|---|---|---|---|
| P(Y) = | 0.71 | 0.21 | 0.07 | 0.01 |
En este caso, el valor esperado de los costos mensuales de los reclamos, es
E(Y) = 0∙0.71 + 100.000∙0.21 + 200.000∙0.07 + 300.000∙0.01 = 38.000
que también se puede calcular como:
E(Y) = E(100.000∙X) = 100.000∙E(X) = 100.000∙0.38 = 38.000
La regla útil del valor esperado de α∙X se puede extender a α∙X + β con α∙, β constantes, esto se presenta porque E(α∙X + β) = E(α∙X) + E(β) y teniendo en cuenta que el promedio o valor esperado de una constante es la misma constante, se tiene:
Para cualesquiera constantes α y β: E(α∙X + β) = α∙E(X) + β |
Ejemplo. El rector de la Universidad San Marino por solicitud de varios profesores que manifiestan que el incremento no alcanza a cubrir algunos otros aumentos en sus costos de vida, decide dar un incremento constante adicional de $20.000. ¿cuál es el nuevo salario promedio?
Solución. Los profesores Forero y Reynolds ganarán ahora $2.060.000 y $5.120.000 respectivamente, y en general el sueldo promedio va a ser de:
E(1.02X + 20.000) = 1.02*E(X) + 20.000 = 1.02*2.900.000 + 20.000 = $2.978.000, es decir, ya no un incremento promedio de $58.000 sino de $78.000 que tal vez para salarios bajos como el del profesor Forero sea significativo pero para otros como el del pr. Reynolds, no son importantes.
Ejemplo.Por los reclamos por garantía, se tiene un costo fijo mensual por cuestiones administrativas de
$25.000, de tal forma que el costo total de garantías es
100.000∙X + 25.000
Luego el valor esperado del costo por garantía, es:
E(100.000∙X + 25.000) = 100.000∙E(X) + 25.000 = 63.000
Para una función g(x), también se puede calcular el valor esperado, según:
Sea X una variabe aleatoria con distribución de probabilidad f(x). El valor esperado de la función g(x), es:  |
Ejemplo. El número de automóviles que ingresa a un Autolavado un domingo soleado en la mañana, está dado según los datos históricos, por:
| x | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) = | 1/10 | 1/10 | 1/4 | 1/4 | 1/6 | 2/15 |
Sea g(X) = 3X − 10 la cantidad de dinero en euros que se le paga al operario. ¿Cuál es la ganancia esperada por el operario en esta jornada dominical específica?
Solución:
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