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8. Tasa Interna de Retorno - TIR-

Por Wilson Castro Z.

Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión

Mapa Conceptual TIR

Fig. 8.1 Mapa conceptual de la Evaluación financiera de proyectos de inversión

Al igual que el Valor Presente Neto -VPN-, la Tasa Interna de Retorno -TIR- constituye un indicador que contempla el valor del dinero en el tiempo. No obstante, mientras el VPN se expresa en valores absolutos monetarios, y evalúa los proyectos de inversión respecto de una tasa de interés de descuento (tasa de oportunidad o costo del capital), la Tasa Interna de Retorno acerca al inversionista a la tasa de rendimiento de los recursos invertidos y permanecen en el proyecto.

La Tasa Interna de Retorno (TIR)

Por definición, la Tasa Interna de Retorno es la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero. Por consiguiente, la TIR iguala los flujos de entrada con los flujos de salida del proyecto.

El método de evaluación de la Tasa interna de retorno ( TIR ) consiste en encontrar la tasa de rendimiento de un proyecto. Es necesario que los proyectos evaluados por este método presenten ingresos. Podemos decir que la tasa interna de retorno es la tasa de interés que equilibra la inversión con sus ingresos netos.

Se llama tasa interna de retorno a la tas de interés que convierte el Valor Presente Neto de un flujo en cero.

Debemos tener cuidado con la metodología a utilizar para igualar el VPN de un proyecto a cero. Poco a poco iremos viendo en que errores se incurrió hasta hace poco, los cuales inclusive se siguen cometiendo, y miraremos cómo corregir estas imprecisiones.

Tasa de Interés a utilizar

Cuando evaluamos un proyecto desde el punto de vista financiero, debemos decidir qué tasa de interés debemos utilizar. Por esto debemos hacernos la siguiente pregunta: ¿a quién queremos convencer y de qué lo queremos convencer?.

Si queremos evaluar un proyecto en el cual Luis invierte su dinero, entonces debemos utilizar el costo de oportunidad de Luis, que es la tasa de rendimiento al que Luis generalmente realiza inversiones. Por ejemplo, si Luis es ganadero y obtiene con sus negocios una rentabilidad del 30% anual, la cual es la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO) de Luis en tal caso, y entonces para convencerlo de que invierta en otro negocio, este debe ser lo suficientemente atractivo para que Luis salga de su zona de confort, es decir, él ya se siente cómodo y seguro con la TIO que obtiene y es el negocio que conoce y en que está seguro de que no va a perder u obtener rentabilidades menores a esta TIO.

En otro escenario, si Luis toma dinero prestado para realizar la inversión del proyecto a evaluar, entonces debemos utilizar la tasa de interés efectiva a la cual Luis toma dinero prestado (el costo del dinero para Luis).

De esta forma, un referente de comparación e interpretación de la TIR es la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), la cual es propia del inversioninsta.

De acuerdo con lo expuesto hasta aquí, se pueden hacer algunas consideraciones:

1.   Si la TIR es > TIO, el proyecto se acepta
2.   Si la TIR es = TIO, el proyecto es indiferente
3.   Si la TIR es < TIO, el proyecto se rechaza o reconsidera

La TIR también es conocida como la tasa de rentabilidad que resulta de la reinversión de los flujos netos de efectivo dentro de la operación o proyecto. Es importante aclarar, que no es posible sostener que la TIR representa la rentabilidad del proyecto, como afirmación general. Para que esto sea cierto, los flujos de caja liberados por el proyecto tendrán que reinvertirse a la misma Tasa Interna de Retorno, situación que no es muy frecuente.

Cálculo de la Tasa Interna de Retorno

En la actualidad, las calculadoras financieras y las hojas de cálculo ofrecen funciones para el cálculo abreviado de la TIR. Sin embargo, a continuación se expone un método clásico para su determinación (método de interpolación) y también se plantea su cálculo de forma numérica con el Método de la Bisección.

Para el análisis y cálculo de la TIR, se retoma aquí el Diagrama de flujo de Caja ya visto previamente:

Gráfica de Flujo de Caja

Al abordar transacciones que requieren una mirada progresiva en el tiempo, es conveniente reconocer herramientas que faciliten una mejor comprensión del Valor del Dinero en el Tiempo.

En este tema se manejarán las siguientes convenciones:

1. La flecha horizontal representa el tiempo. El tiempo fluye hacia la derecha desde el Presente hasta un momento Futuro. En esta flecha se escribirán las fechas o los períodos de las transacciones.

Esquema Linea del tiempo financiero
Fig. 8.2 Línea de tiempo financiero

2. Las flechas que se dirigen hacia arriba o hacia abajo son valores monetarios, es decir, representan dinero. Se ha convenido que las flechas hacia arriba representan ingresos y hacia abajo representan egresos. En la Figura 8.3, se observa el modelo más básico en que se tiene un valor presente P y un valor futuro F después de n periodos a una tasa de interés i, que resulta ser precisamente la TIR del ejercicio financiero.

Esquema Linea del tiempo financiero

Fig. 8.3 Flujo de Caja con un Valor Presente P y un valor futuro F

En este diagrama, las variables P, F, n se relacionan con la fórmula del interés compuesto:

F = P∙(1 + i)n

y al despejar la tasa de Interés (se utiliza elevado a la 1/2 para la raíz cuadrada, o para cualquier raíz k, se utiliza 1/k):

i = (
F / P
)1/n − 1

Por ejemplo, si se realiza una inversión de $500.000 y dentro de 6 meses se reciben $600.000, entonces el diagrama de tiempo y valor será:

Esquema Linea del tiempo financiero
Fig.8.4 Gráfica de flujo de caja representando el dinero con el sentido de las flechas verticales

Y la tasa de rendimiento en esta inversión es:

i = (
600.000 / 500.000
)1/6 − 1 = 0.031 = 3.1% mensual

Si se tienen otros flujos de caja intermedios entre el periodo cero (valor P) y el periodo n (valor F), se aplica la ecuación del interés compuesto para cada uno de estos valores, tomando la suma de todos los ingresos e igualando a la suma de todos los egresos en un periodo específico o fecha focal (f.f.) que para el cálculo de la TIR es el periodo cero, con lo cual se tiene la siguiente relación:

Ingresos = ΣEgresos )f.f.

Ejemplo 5

El Fondo de Empleados realiza un préstamo por valor de $2.000.000 y recibe dos pagos así: $1.200.000 dentro de 6 meses y $1.400.000 dentro de 12 meses. Se representan estas operaciones financieras mediante un Diagrama de Tiempo y Valor.

En este caso es posible hacer la representación gráfica desde dos puntos de vista: Desde el Fondo de Empleados o desde el Empleado.

Para el Fondo de Empleados (Prestamista): los $2.000.000 constituyen un desembolso, el cual se representa con una flecha hacia abajo; y las cuotas que recibe constituyen ingresos, que se representan con flechas hacia arriba, así:

Esquema Linea del tiempo financiero
Fig.8.5 Gráfica de Flujo de Caja del problema para el Prestamista.

Al realizar los cálculos con la fecha focal f.f. ubicada en n = 0, se tiene:

P = 2.000.000 ya está en la f.f. y es el único Egreso.
Ingreso de 1.200.000 se encuentra en el período n = 6 y se debe llevar a la f.f., es decir a n = 0
Ingreso de 1.400.000 se encuentra en el período n = 12 y se debe llevar a la f.f., es decir a n = 0

Al plantear toda la ecuación, tenemos:

Ingresos = ΣEgresos )f.f.
2.000.000 =
1.200.000 / (1 + i)6
+
1.400.000 / (1 + i)12

Y no es posible despejar la tasa de interés (o rendimiento), por lo cual se requieren procedimientos específicos como se plantea luego.

Se puede observar también que el diagrama de Flujo de Caja es relativo o depende del punto de vista de quien lo realice, en este caso para el Empleado (Deudor), la representación gráfica es inversa. Los $2.000.000 constituyen un ingreso, que se representa con una flecha hacia arriba y las cuotas que paga constituyen egresos, los cuales se representan con flechas hacia abajo, así:

Esquema Linea del tiempo financiero
Fig. 8.6 Gráfica de flujo de caja del problema desde la perspectiva del deudor

Cálculo de la TIR con el concepto del Valor Presente Neto (VPN)

Para la solución de la TIR se plantea ahora conceptualmente con el Valor Presente Neto (VPN), el cual consiste en traer todos los valores al presente, es decir, al periodo n = 0, y como los ingresos y egresos tienen signos distintos, se vuelve la diferencia como se observa en la siguiente expresión

VPN = Ingresos − ΣEgresos )n=0

La TIR corresponde a la tasa para la cual el VPN da cero. Esto implica que se toma la fecha focal (f.f.) en n = 0. y la diferencia entre los valores de ingresos y egresos da cero.

Diagrama flujo para la TIR

Fig. 8.7 Flujo de Caja con un Valor Presente P y varios flujos en diferentes periodos fk

En la figura 8.7 se tiene un egreso (p.ej. una inversión) P en el periodo n=0 y luego varios ingresos f1 donde el subíndice indica que es en el periodo n=1, de la misma forma hay otros ingresos f2,...fn. Realmente fk son flujos netos de efectivo. Para este caso, el cálculo de la VPN es:

VPN =
f1 / (1 + i)
+
f2 / (1 + i)2
+
f3 / (1 + i)3
+ ... +
fn / (1 + i)n
− P

Donde el cálculo se realiza para alguna tasa i, y esta tasa será la TIR cuando este VPN es cero.

Ejemplo 2. Un préstamo por valor de $5.000.000 fue cancelado con dos pagos de $3.200.000 y $2.100.000 respectivamente, a uno y dos meses del crédito. ¿Cuál fue la tasa de interés que se cobró o ¿Cuál fue la TIR del proyecto?

El diagrama de flujo de caja es como se representa en la figura 8.7

Esquema Linea del tiempo financiero
Fig.8.8 Gráfica de flujo de caja del ejemplo 2

Para la solución de este problema se plantea ahora con el Valor Presente Neto (VPN), el cual corresponde a cero, es decir, que la TIR es la tasa para la cual el VPN es cero. De esta forma se tiene:

La ecuación que se plantea para resolver el valor de la TIR, es:

VPN(i%) =
3.200.000 / (1 + i)
+
2.100.000 / (1 + i)2
− 5.000.000

Por ensayo de prueba y error se le dan valores a la tasa i con el fin de encontrar un VPN positivo y luego un VPN negativo para luego efectuar una operación numérica que permita hallar la tasa para la cual el VPN es cero, tasa que corresponde a la TIR. La solución numérica suele ser mediante la interpolación lineal o por el método de bisección.

• Con una i = 4%:

VPN(4%) =
3.200.000 / (1 + 0.04)
+
2.100.000 / (1 + 0.04)2
− 5.000.000 = 18.491,12

• Con una i = 4.5%:

VPN(4.5%) =
3.200.000 / (1 + 0.045)
+
2.100.000 / (1 + 0.045)2
− 5.000.000 = –14.766,15

Como se observa, ni el 4% ni el 4,5% son las TIR del proyecto, pero al reemplazarlas por estas tasas se obtienen un valor positivo y uno negativo en relación con el VPN. Con esta información es posible aplicar el método numérico de la Bisección así como el de interpolación, que se detallará próximamente.

La solución da que la tasa de interés que se cobró en la transacción (TIR del proyecto) es del 4,28% mensual. Para probarlo, se halla el VPN con este dato, como tasa de descuento:

VPN(4.28%) =
3.200.000 / (1 + 0.0428)
+
2.100.000 / (1 + 0.0428)2
− 5.000.000 = 0

Realmente no da cero sino -183,18, se tendría que afinar mucho el cálculo y nunca se llegará al cero, pero la tasa encontrada tiene la suficiente precisión para darla como la solución al ejercicio.

Encontrar la TIR con Excel

En Excel solamente se colocan los flujos de caja, y luego se inserta la función TIR() dando como parámetro el vector de valores de estos flujos, como se ilustra en la siguiente figura:

La TIR en Excel

Fig. 8.9 La TIR con Excel

Ejercicios de Anualidades

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