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ANUALIDADES DIFERIDAS Y PERPETUAS

Anualidades diferidas

En este tema se tratarán aspectos de una anualidad cierta y diferida. Este tipo de operaciones es frecuente, sobretodo en la práctica de los créditos bancarios, cuando el objeto social del negocio requiere de un tiempo prudencial para empezar a liberar flujos de caja con los que se ha de amortizar la deuda. Es común llamarle “período de gracia” al tiempo en el que no se realizan amortizaciones al saldo del crédito.

Es importante mencionar que durante el período de gracia, si bien no se pagan cuotas ni los intereses, estos intereses sí se generan y se deben determinar; de tal manera que cuando se inicia con el plan de pagos, el valor de las cuotas se calcula sobre la suma de dinero más todos los intereses desde el inicio del crédito. Por lo demás, las fórmulas que se utilizan son las mismas que para las anualidades vencidas o anticipadas (de acuerdo con el caso), sólo que hay que trasladar algunos resultados con las fórmulas de Interés Compuesto para calcular sus equivalencias.

Ejemplo 1

Para el montaje de una empresa de confecciones, se tramita un crédito con un banco por valor de $24.000.000. El banco concede un período de gracia de un año, durante el cual no se realizarán abonos al capital de la deuda, ni pagos de intereses. Al término del primer año, el crédito será cancelado mediante pagos semestrales vencidos en un plazo de 4 años. La tasa de interés pactada es del 9.0% semestral. ¿Cuál es el valor de los pagos?

Solución. Se tiene un ejemplo clásico de un crédito en el que el sistema financiero le otorga al empresario un plazo prudencial para que la nueva unidad de negocio inicie actividades y pueda cumplir con los pagos convenidos. Se resolverá este problema en dos pasos: primero, se determinará el valor de los $24.000.000 un año después (al término del período de gracia). Segundo, con esta suma acumulada se calculará el valor de los pagos semestrales durante 4 años. Veamos la gráfica que representa la operación:

Primer Paso: Se calcula el valor de los $24.000.000 un año después (dos periodos semestrales adelante), con la fórmula de Valor Futuro (F) a Interés Compuesto, así:

F = P(1 + i)2
F = 24.000.000(1 + 0.09)2
F = $28.514.400

De esta manera se obtiene la suma con la cual se ha de establecer el valor de los pagos del crédito. Para efectos de este nuevo cálculo, los $28.514.400 se consideran el Valor Presente (P) de la anualidad vencida. Así las cosas, se calculan los 8 pagos semestrales:

Solución: los datos del problema son:

P = $28.514.400,
n= 8,
i = 9.0%= 0.09

Al utilizar la ecuación correspondiente, se tiene:

A = P∙ [
i∙(1 + i)n/(1 + i)n − 1
]
A = 28.514.400∙ [
0.09∙(1 + 0.09)8/(1 + 0.09)8 − 1
]
A = 28.514.400 ∙ 0.18067 = $ 5.151.821,48

Respuesta: El valor de cada una de las 8 cuotas semestrales serán de $ 5.151.821,48

Ejemplo 2.

Un agricultor vende toda su cosecha de arroz y si pudiera sembrar más vendería más, por tal motivo le ha solicitado al banco Agrario que le preste $28 millones para ser cancelado en 20 pagos trimestrales de $A c/u, pero también solicita que le permitan efectuar el primer pago exactamente al año de que se le conceda el préstamo, ésta solicitud la hace debido a que con el dinero del préstamo va a comprar la maquinaria agrícola necesaria para sus cultivos, y espera en este tiempo tener la liquidez suficiente para iniciar con los pagos de este crédito. Calcular $A con una tasa del 32% CT.

Solución. Obsérvese que el primer pago está en el período 4, que corresponde al final del año 1. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde hemos puesto la fecha focal (f.f.). (la doble numeración no siempre es necesaria, aquí la hemos puesto para dar mayor claridad al ejemplo). El gráfico de flujo de caja desde el punto de vista del banco, es:

Primer Paso: Se calcula el valor de los $28.000.000 tres trimestres después, con la fórmula de Valor Futuro (F) a Interés Compuesto, así:

• P = $28.000.000
• i = 32% C.T. = 8.0% E.T.
• n= 3

F = P(1 + i)n
F = 28.000.000(1 + 0.08)3
F = $35.271.936,0

De esta manera se obtiene la suma con la cual se ha de establecer el valor de los pagos del crédito. Para efectos de este nuevo cálculo, los $35.271.936,0 se consideran el Valor Presente (P) de la anualidad vencida. Así las cosas, se calculan los 20 pagos trimestrales:

Solución: los datos del problema son:

P = $35.271.936,0,
n= 20,
i = 8.0% E.T.= 0.08

Al utilizar la ecuación correspondiente, se tiene:

A = P∙ [
i∙(1 + i)n/(1 + i)n − 1
]
A = 35.271.936,0∙ [
0.08∙(1 + 0.08)20/(1 + 0.08)20 − 1
]
A = 35271936 ∙ 0.10185 = $ 3.592.524,59

Respuesta: El valor de cada una de las 20 cuotas trimestrales serán de $ 3.592.524,59

Cálculo con la ecuación de Valor

Con la ecuación de valor, se fija la fecha focal (f.f.) en el periodo cero, y:

[∑(Ingresos) = ∑(Egresos)]f.f.

Se observa que los ingresos son de $28.000.000 y ya se encuentran en el periodo cero, el cálculo del valor presente de la anualidad queda en el periodo 3 y de allí se lleva al periodo cero, por lo cual se le aplica el factor de actualización (1 + i)-3.

De esta forma, al utilizar la ecuación, de valor, se tiene:

Ingresos0 = A∙ [
(1 + i)n − 1/ i∙(1 + i)n − 1
](1 + i)− 3
28.000.000 = A ∙ [
(1 + 0.08)20 − 1/ 0.08∙(1 + 0.08)20
](1 + 0.08)− 3
28.000.000 = A ∙ 9.81815 ∙ 0.7938

Al despejar A:
A = $ 3.592.670,51

La diferencia se debe a errores de redondeo (decimales).

Anualidades Perpetuas

Las anualidades perpetuas son aquellas en que se tiene una cantidad no determinada de pagos, o pagos infinitos. Esta clase de anualidad ocurre cuando se coloca un capital y solamente se retiran los intereses

En este modelo, solo se tiene el valor presente o capital inicial por obvias razones.

Nos apoyamos en el cálculo evaluando el límite cuando el número de periodos n tiende al infinito:

Extrayendo del límite A y dividiendo entre el factor (1 + i)n:

Luego la expresión para una anualidad infinita, es:

P =
A/ i

Ejemplo 3.

¿Cuánto debe ahorrar una persona en un fondo pensional si desea retirarse a los 50 años con una mesada de $2.000.000 para el resto de su vida, y el capital ahorrado lo mantiene intacto. El fondo le asegura intereses al 18% C.M.

Se puede tomar como una anualidad infinita ya que si recibe pagos mensuales de $2.000.000 y deja el capital intacto, solo retira los intereses. Los datos del problema son:

A = $2.000.000
i = 18% C.M. = 18/12 = 1.5% E.M. = 0.015 mensual
P = ?

Al utilizar la ecuación, se tiene:

P =
A/ i
P =
2.000.000/ 0.015
P = $ 133.333.333.33

Por supuesto este plan de jubilación no es muy apropiado, ya que la mesada de $2.000.000 tendrá cada vez menos valor por efectos de la inflación y la devaluación de la moneda.

Ejemplo 4

Una organización sin ánimo de lubro crea un fondo de apoyo a la educación, con un capital inicial de $1.500.000.000, de tal forma que pueda disponer de unos recursos cada semestre de forma indefinida. Si calcula que el capital con que inicie su labor lo puede rentabilizar al 24% C.S., ¿de cuánto puede disponer semestralmente?

Solución. Es claro que se trata de una anualidad infinita donde los intereses semestrales corresponderán a los fondos que podrá disponder la fundación para su labor social, así los datos son:

P = $1.500.000.000
i = 24% C.S. = 24/2 = 12.0% E.S. = 0.12 mensual
A = ?

despejando A de la ecuación de anualidad infinita y sustituyendo los datos, se tiene:

A = P ∙ i
A = 1.500.000.000 ∙ 0.12
A = $ 180.000.000

La fundación podrá disponer de $ 180.000.000 cada semestre para su programa de apoyo a la educación.

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