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Las Anualidades son series uniformes con pagos en cantidades iguales de dinero situadas a intervalos iguales de tiempo. Comercialmente se les llama anualidades, aunque en la práctica no necesariamente responde a periodos de año y su periodicidad puede ser además mensual, bimensual, trimestral, semestral, entre otros. Las cuotas que paga el arrendatario por un inmueble son rentas o anualidades, puesto que su valor es idéntico y el periodo de pago se da a intervalos iguales, que por lo general son meses. También son pagos periódicos o anualidades, las cuotas fijas de un crédito bancario, los pagos semestrales de primas, el gasto de depreciación en línea recta de una máquina y el ahorro fijo periódico que se haga en un fondo de ahorro, entre otros.
Para que una serie de pagos correspondan a una Anualidad, como se observa en la figura 4.2, se deben cumplir las siguientes condiciones:
Todas las cuatro condiciones son necesarias para el modelo matemático.
Estas condiciones hacen parte de la hipótesis de la renta:
Hipótesis de renta
• La primera renta esta localizada en el periodo 1 y la última en el periodo n.
• A1 = A2 = An − 1= An. El valor de cada una de las rentas es igual, y están localizadas a intervalos iguales de tiempo.
La cuarta condición es de cuidado al plantear o interpretar un problema. Así el siguiente diagrama No es una anualidad porque el número de pagos (A) es 3 y solo hay 2 periodos
Para que corresponda al modelo de la Anualidad, se debe aumentar un periodo al principio (anualidad ordinaria o vencida) o al final (Anualidad anticipada)
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| Anualidad vencida /ordinaria | Anualidad anticipada |
En este capítulo se trabajan Anualidades Anticipadas
Se estudian en este capítulo 4 casos en las anualidades anticipadas. Iniciamos con la primera:
En el diagrama, la numeración que se encuentra encima de la línea de tiempo corresponde a los pagos o anualidades, mientras que la numeración que está debajo indica los periodos. En el periodo 0 se realiza el primer pago y el último Pago (pago An) se realiza en el periodo n−1.
En primer lugar el Factor de Agrupamiento al Presente, es:
Como con este Factor de Capitalización se está encontrando el valor futuro F, la fórmula del interés compuesto es:
Se observa que la relación entre el valor futuro F y el Factor de Capitalización de acuerdo a las anteriores ecuaciones, es;
Que se traduce: El valor presente P es igual al valor de la Anualidad A por un factor que convierte la anualidad al valor presente, a una tasa del i% durante n periodos.
Ejemplo 1
¿Cuánto le presta la sra. María a Juan, si le exige 4 pagos mensuales de $ 50.000 de forma anticipada al 2.5% mensual?
Solución: los datos del problema son:
• A = 50.000,
• n= 4,
• i = 2.5%= 0.025
El diagrama de flujo de caja, es:
Al utilizar la ecuación, se tiene:
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Respuesta: Juan recibe $ 192.801,2 de crédito. Como esto es en el periodo cero en que a la vez debe pagar la primera cuota de $50.000, luego realmente su ingreso neto en el periodo cero es de $142.801,2, su fujo
Observación:
Cálculo directo Calculadora Agrupamiento al Presente
En seactuario.com también tenemos la Calculadora de Agrupamiento al Presente.
Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:
Ejercicio empleando la Hoja de Cálculo Excel: Se escriben los datos, y se tiene en cuenta que en EXCEL se tienen una gran cantidad de funciones financieras, para el caso de Anualidades, las funciones son (entre paréntesis la notación usada en este curso):
• VA: Valor Actual o Presente de la Anualidad (P).Se ingresan los datos como se observa en la figura 9.3, y en la celda de P, se hace click en la pastaña Fórmulas/insertar función.. Se selecciona la función VA y se ingresan los datos como se observa:
Observe que en el campo de Tipo se ha ingresado 1 ya que se trata de una anualidad Anticipada.
Desde el punto de vista de Juan, los pagos son egresos, luego aquí se colocaron valores negativos.
Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.
La fórmula para encontrar la Anualidad o Renta, A, dado el valor presente, es:
Se observa que la relación entre la Anualidad A y el Factor Distribución de un Valor Presente de acuerdo a la anterior ecuación, se traduce como: La Anualidad A o valor de los pagos anticipados, es igual al valor Presente P por un factor que convierte el valor presente a la Anualidad, a una tasa del i% durante n periodos.
Ejemplo 2. Una máquina cuesta de contado $1.800.000, la empresa la ofrece financiada a 18 cuotas iguales con el primer pago el día de la venta y se carga un interés del 3.0% efectivo mensual. ¿De cuánto quedan las cuotas?
Solución: los datos del problema son:
• P = $1.800.000,
• n= 18,
• i = 3.0%= 0.03
Al utilizar la ecuación, se tiene:
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Respuesta: Las cuotas mensuales son de $ 127.063,74040
Cálculo directo Calculadora Pago dado el Valor Presente
En seactuario.com también tenemos la Calculadora Pago dado el Valor Presente.
Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:
Ejercicio con Excel.
Se ingresan los datos como se observa en la figura 4.3, y en la celda de A, se hace click en la pestaña Fórmulas/insertar función.. Se selecciona la función Pago y se ingresan los datos como se observa:
Da el valor − $127.063,74040, que indica que este es un egreso.
Es el caso má común para llegar a un ahorro o una capitalización.
En este caso, se tiene el diagrama de flujo de la forma:
En el diagrama, la numeración que se encuentra encima de la línea de tiempo corresponde a los pagos o anualidades, mientras que la numeración que está debajo indica los periodos. En el periodo 0 se realiza el primer pago y el último Pago (pago An) se realiza en el periodo n−1.
La Fórmula para calcular el Valor Futuro F dada la Anualidad A, es:
Se observa que la relación entre el valor Futuro F y el Factor de agrupàmiento de acuerdo a la anterior ecuación, se traduce como: El Valor Futuro F es igual al valor de la Anualidad A por un factor que convierte la Anualidad al valor Futuro, a una tasa del i% durante n periodos.
Ejemplo 3. Supongamos que vamos a realizar una serie de ahorros de $500.000 durante 24 meses en una cooperativa que reconoce intereses al 1.2% mensual iniciando hoy la primera cuota. ¿Cuánto se ha ahorrado al mes de la última cuota?
Solución: los datos del problema son de una anualidad anticipada, con:
• A = 500.000,
• n= 24,
• i = 1.2 %= 0.012
• F = ?
Al utilizar la ecuación, se tiene:
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Respuesta: Se tendrá ahorrado al final del mes 24 la cantidad de $ 2.091.813.5
Cálculo directo Calculadora de Agrupamiento al Futuro
En seactuario.com también tenemos la Calculadora de Agrupamiento al Futuro.
Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:
Ejercicio con Excel. Se ingresan los datos, observe que los pagos se colocan como valores negativos ya que son egresos, se usa la función VF:
Este es el caso contrario, y para encontrar la Distribución del Valor Futuro, se tiene la expresión para encontrar la Anualidad o Renta, A, dado el valor futuro F:
Se observa que la relación entre la Anualidad A y el Factor Distribución de un Valor Futuro de acuerdo a la anterior ecuación, se traduce como: La Anualidad A es igual al valor Futuro F por un factor que convierte el valor Futuro a la Anualidad, a una tasa del i% durante n periodos.
Ejemplo 4. Juliana quiere ahorrar $ 5.000.000 para hacer un viaje de turismo por Europa dentro de 1 año. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente en cantidades iguales iniciando hoy, si los deposita en una cuenta que le garantiza una tasa de rendimiento del 1.5% mensual?
Solución: los datos del problema son:
• F = 5.000.000,
• n= 12,
• i = 1.5%= 0.015
• A = ?
Al utilizar la ecuación, se tiene:
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Respuesta: Juliana debe ahorrar cada mes e iniciando desde hoy y por 12 veces, una cantidad de $377.733,955, para tener $5.000.000 en un año.
Cálculo del factor con la Calculadora
Cálculo directo Calculadora Destribución de un Valor Futuro
En seactuario.com también tenemos la Calculadora Distribución de un Valor Futuro.
Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:
Ejercicio con Excel. Se ingresan los datos, observe que el valor futuro se escribe positivo ya que será un ingreso, y los pagos tendrán un valor negativo, se usa la función Pago:
Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.
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