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9. ANUALIDADES ANTICIPADAS

Interes compuesto y anualidades o rentas
Fig. 9.1 Diagrama conceptual sobre las anualidades o rentas fijas

Las Anualidades son series uniformes con pagos en cantidades iguales de dinero situadas a intervalos iguales de tiempo. Comercialmente se les llama anualidades, aunque en la práctica no necesariamente responde a periodos de año y su periodicidad puede ser además mensual, bimensual, trimestral, semestral, entre otros. Las cuotas que paga el arrendatario por un inmueble son rentas o anualidades, puesto que su valor es idéntico y el periodo de pago se da a intervalos iguales, que por lo general son meses. También son pagos periódicos o anualidades, las cuotas fijas de un crédito bancario, los pagos semestrales de primas, el gasto de depreciación en línea recta de una máquina y el ahorro fijo periódico que se haga en un fondo de ahorro, entre otros.

Para que una serie de pagos correspondan a una Anualidad, como se observa en la figura 4.2, se deben cumplir las siguientes condiciones:

  1. Todos los pagos son del mismo valor.
  2. Todos los pagos se realizan a iguales intervalos de tiempo.
  3. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
  4. El número de pagos es igual al número de periodos.

Todas las cuatro condiciones son necesarias para el modelo matemático.

Estas condiciones hacen parte de la hipótesis de la renta:

Hipótesis de renta

• La primera renta esta localizada en el periodo 1 y la última en el periodo n.

A1 = A2 = An − 1= An. El valor de cada una de las rentas es igual, y están localizadas a intervalos iguales de tiempo.

La cuarta condición es de cuidado al plantear o interpretar un problema. Así el siguiente diagrama No es una anualidad porque el número de pagos (A) es 3 y solo hay 2 periodos

Para que corresponda al modelo de la Anualidad, se debe aumentar un periodo al principio (anualidad ordinaria o vencida) o al final (Anualidad anticipada)

Anualidad vencida /ordinaria         Anualidad anticipada

En este capítulo se trabajan Anualidades Anticipadas

Se estudian en este capítulo 4 casos en las anualidades anticipadas. Iniciamos con la primera:

9.1 Calcular El Valor Presente de una Anualidad Anticipada

Diagrama Factor de Agrupamiento al Presente en una anualidad anticipada
Fig.9.2 Diag. Agrupamiento al Presente

En el diagrama, la numeración que se encuentra encima de la línea de tiempo corresponde a los pagos o anualidades, mientras que la numeración que está debajo indica los periodos. En el periodo 0 se realiza el primer pago y el último Pago (pago An) se realiza en el periodo n−1.

En primer lugar el Factor de Agrupamiento al Presente, es:

Factor de Agrupamiento al Presente

Como con este Factor de Capitalización se está encontrando el valor futuro F, la fórmula del interés compuesto es:

Formula de Agrupamiento al Presente anualidad anticicpada

Se observa que la relación entre el valor futuro F y el Factor de Capitalización de acuerdo a las anteriores ecuaciones, es;

Relacion de Agrupamiento al Presente

Que se traduce: El valor presente P es igual al valor de la Anualidad A por un factor que convierte la anualidad al valor presente, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 1

¿Cuánto le presta la sra. María a Juan, si le exige 4 pagos mensuales de $ 50.000 de forma anticipada al 2.5% mensual?

Solución: los datos del problema son:

A = 50.000,
n= 4,
i = 2.5%= 0.025

El diagrama de flujo de caja, es:

Al utilizar la ecuación, se tiene:

P = A∙ [
(1 + i)n − 1/ i∙(1 + i)n − 1
]
P = 50.000 ∙ [
(1 + 0.025)4 − 1/ 0.025∙(1 + 0.025)3
]
P = 50.000 ∙ 3.856024 = 192.801,178

Respuesta: Juan recibe $ 192.801,2 de crédito. Como esto es en el periodo cero en que a la vez debe pagar la primera cuota de $50.000, luego realmente su ingreso neto en el periodo cero es de $142.801,2, su fujo

Observación:

Cálculo directo Calculadora Agrupamiento al Presente

En seactuario.com también tenemos la Calculadora de Agrupamiento al Presente.

Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:

Calculadora de Agrupamiento al Presente
Fig. 9.3 Calculadora de Agrupamiento al Presente

Ejercicio empleando la Hoja de Cálculo Excel: Se escriben los datos, y se tiene en cuenta que en EXCEL se tienen una gran cantidad de funciones financieras, para el caso de Anualidades, las funciones son (entre paréntesis la notación usada en este curso):

• VA: Valor Actual o Presente de la Anualidad (P).
• VF: Valor Futuro de la Anualidad (F).
• Tasa: Es la tasa de interés aplicada por período (i).
• Pago: Es el pago de cada periodo o renta (A).
• Nper: Es el número total de periodos de pago en la anualidad/inversión (n)
• Tipo: Es un valor lógico: para pago anticipado o inicio del periodo =1; para
pago al final de periodo (pago vencido) = 0 u omitido.

Se ingresan los datos como se observa en la figura 9.3, y en la celda de P, se hace click en la pastaña Fórmulas/insertar función.. Se selecciona la función VA y se ingresan los datos como se observa:

Calculo anualidad o renta anticipada en Excel
Fig. 9.4 Uso de Excel para ejercicio de la Anualidad

Observe que en el campo de Tipo se ha ingresado 1 ya que se trata de una anualidad Anticipada.

Desde el punto de vista de Juan, los pagos son egresos, luego aquí se colocaron valores negativos.

Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.

9.2 Calcular la Anualidad dado el valor Presente

La fórmula para encontrar la Anualidad o Renta, A, dado el valor presente, es:

Formula de Distribucion de un Valor Presente en anualidad anticipada

Se observa que la relación entre la Anualidad A y el Factor Distribución de un Valor Presente de acuerdo a la anterior ecuación, se traduce como: La Anualidad A o valor de los pagos anticipados, es igual al valor Presente P por un factor que convierte el valor presente a la Anualidad, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 2. Una máquina cuesta de contado $1.800.000, la empresa la ofrece financiada a 18 cuotas iguales con el primer pago el día de la venta y se carga un interés del 3.0% efectivo mensual. ¿De cuánto quedan las cuotas?

Solución: los datos del problema son:

P = $1.800.000,
n= 18,
i = 3.0%= 0.03

Al utilizar la ecuación, se tiene:

A = P∙ [
i∙(1 + i)n − 1/(1 + i)n − 1
]
A = 1.800.000∙ [
0.03∙(1 + 0.03)17/(1 + 0.03)18 − 1
]
A = 1.800.000 ∙ 0.07059 = $ 127.063,74040

Respuesta: Las cuotas mensuales son de $ 127.063,74040

Cálculo directo Calculadora Pago dado el Valor Presente

En seactuario.com también tenemos la Calculadora Pago dado el Valor Presente.

Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:

Calculadora de Agrupamiento al Presente de anualidad anticipada
Fig. 9.5 Calculadora Pagos anticipados dado el Valor Presente

Ejercicio con Excel.

Se ingresan los datos como se observa en la figura 4.3, y en la celda de A, se hace click en la pestaña Fórmulas/insertar función.. Se selecciona la función Pago y se ingresan los datos como se observa:

Calculo del pago en una anualidad o renta en Excel
Fig.9.6 Uso de Excel para ejercicio de la Anualidad

Da el valor − $127.063,74040, que indica que este es un egreso.

9.3 Conversión de Pagos (Rentas) a Valor Futuro

Es el caso má común para llegar a un ahorro o una capitalización.

En este caso, se tiene el diagrama de flujo de la forma:

Diagrama Factor de Agrupamiento al Futuro
Fig. 9.7 Diagrama de Agrupamiento al Futuro

En el diagrama, la numeración que se encuentra encima de la línea de tiempo corresponde a los pagos o anualidades, mientras que la numeración que está debajo indica los periodos. En el periodo 0 se realiza el primer pago y el último Pago (pago An) se realiza en el periodo n−1.

La Fórmula para calcular el Valor Futuro F dada la Anualidad A, es:

Formula de Agrupamiento de un Valor Futuro

Se observa que la relación entre el valor Futuro F y el Factor de agrup├ámiento de acuerdo a la anterior ecuación, se traduce como: El Valor Futuro F es igual al valor de la Anualidad A por un factor que convierte la Anualidad al valor Futuro, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 3. Supongamos que vamos a realizar una serie de ahorros de $500.000 durante 24 meses en una cooperativa que reconoce intereses al 1.2% mensual iniciando hoy la primera cuota. ¿Cuánto se ha ahorrado al mes de la última cuota?

Solución: los datos del problema son de una anualidad anticipada, con:

A = 500.000,
n= 24,
i = 1.2 %= 0.012
F = ?

Al utilizar la ecuación, se tiene:

F = A∙ [
(1 + i)n − 1/i
∙ (1 + i)]
F = 500.000 [
(1 + 0.012)24 − 1/0.012
∙ (1 + 0.012)]
F = 500.000 ∙ 27.95421 = $13977103.22342

Respuesta: Se tendrá ahorrado al final del mes 24 la cantidad de $ 2.091.813.5

Cálculo directo Calculadora de Agrupamiento al Futuro

En seactuario.com también tenemos la Calculadora de Agrupamiento al Futuro.

Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:

Calculadora de Agrupamiento al Presente
Fig. 9.8 Calculadora Agrupamiento al Futuro

Ejercicio con Excel. Se ingresan los datos, observe que los pagos se colocan como valores negativos ya que son egresos, se usa la función VF:

Excel para calcular Valor Futuro en una Anualidad
Fig. 9.9 Cálculo del Valor Futuro de la Anualidad en Excel

9.4 Calcular la Anualidad dado el Valor Futuro

Este es el caso contrario, y para encontrar la Distribución del Valor Futuro, se tiene la expresión para encontrar la Anualidad o Renta, A, dado el valor futuro F:

Formula Factor de Distribucion de un Valor Futuro

Se observa que la relación entre la Anualidad A y el Factor Distribución de un Valor Futuro de acuerdo a la anterior ecuación, se traduce como: La Anualidad A es igual al valor Futuro F por un factor que convierte el valor Futuro a la Anualidad, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 4. Juliana quiere ahorrar $ 5.000.000 para hacer un viaje de turismo por Europa dentro de 1 año. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente en cantidades iguales iniciando hoy, si los deposita en una cuenta que le garantiza una tasa de rendimiento del 1.5% mensual?

Solución: los datos del problema son:

F = 5.000.000,
n= 12,
i = 1.5%= 0.015
A = ?

Al utilizar la ecuación, se tiene:

A = F∙ [
i ∙ (1 + i)−1/(1 + i)n − 1
]
A = 5.000.000 ∙ [
0.015 ∙ (1 + 0.015)−1/(1 + 0.015)12 − 1
]
A = 5.000.000 ∙ 0.07555 = $377.733,955

Respuesta: Juliana debe ahorrar cada mes e iniciando desde hoy y por 12 veces, una cantidad de $377.733,955, para tener $5.000.000 en un año.

Cálculo del factor con la Calculadora

Cálculo directo Calculadora Destribución de un Valor Futuro

En seactuario.com también tenemos la Calculadora Distribución de un Valor Futuro.

Ingrese todos los datos, como se observa en la figura:

Calculadora Distribucion de un valor futuro
Fig. 9.10 Calc. Distrib. de un valor futuro

Ejercicio con Excel. Se ingresan los datos, observe que el valor futuro se escribe positivo ya que será un ingreso, y los pagos tendrán un valor negativo, se usa la función Pago:

Excel para calcular Valor Futuro en una Anualidad
Fig. 9.11 Cálculo del Valor Futuro de la Anualidad en Excel

Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.

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