Se Actuario
Menú Matemáticas Financieras Anterior: Conversión Tasas de Interés Siguiente: Anualidades Diferidas y Perpetuas

ANUALIDADES ORDINARIAS

Son series uniformes con pagos en cantidades iguales de dinero situadas a intervalos iguales de tiempo. Comercialmente se les llama anualidades, aunque en la práctica no necesariamente responde a periodos de año y su periodicidad puede ser además mensual, bimensual, trimestral, semestral, entre otros. Las cuotas que paga el arrendatario por un inmueble son rentas o anualidades, puesto que su valor es idéntico y el periodo de pago se da a intervalos iguales, que por lo general son meses. Tmabién son pagos periodicos o anualidades , las cuotas fijas de un crédito bancario, los pagos semestrales de primas, el gasto de depreciación en línea recta de una máquina y el ahorro fijo periódico que se haga en un fondo de ahorro, entre otros.

Se estudian en este capítulo 4 casos. Iniciamos con la primera:

2.1 Calcular El Valor Presente de una Anualidad

Diagrama Factor de Agrupamiento al Presente
Fig.2.2 Diagrama de Agrupamiento al

En primer lugar el Factor de Agrupamiento al Presente, es:

Factor de Agrupamiento al Presente

Como con este Factor de Capitalización se está encontrando el valor futuro F, la fórmula del interés compuesto es:

Formula de Agrupamiento al Presentee

Se observa que la relación entre el valor futuro F y el Factor de Capitalización de acuerdo a las anteriores ecuaciones, es;

Relacion de Agrupamiento al Presente

Que se traduce: El valor presente P es igual al valor de la Anualidad A por un factor que convierte la anualidad al valor presente, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 1

¿Cuál era el valor de contado del Horno Microondas que compró Juan, si lo paga a 8 cuotas mensuales de 150.000 y la tasa de financiación que se aplicó fue del 2,1% mensual?

Solución: los datos del problema son:

A = 150.000,
n= 8,
i = 2.1%= 0.021

Al utilizar la ecuación, se tiene:

Diagrama de ejemplo anaulidad

P = A∙
(1 + i)n − 1/ i∙(1 + i)n
P = 150.000 ∙
(1 + 0.021)8 − 1/ i∙(1 + 0.021)8
P = 150.000 ∙ 7.29401 = 1.094.101.7

Respuesta: Juan compró un horno microondas de valor $ 1.094.101.7

Observación:

No podemos decir que Juancho pago en el año $1.094.101.7, ni tampoco que pagó 150.000∙8 = $1.200.000 como suelen las personas realizar las cuentas, porque no podemos sumar cantidades de dinero que estén en periodos de tiempos diferentes.

Hipótesis de renta

− La primera renta esta localizada en el periodo 1 y la ultima en el periodo n.

A1 = A2 = An − 1= An. El valor de cada una de las rentas es igual, y están localizadas a intervalos iguales de tiempo.

Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.

2.2 Calcular la Anualidad dado el valor Presente

Este es el caso contrario, y para encontrar la Distribución del Valor Presente, se tienen las expresiones:

Factor de Agrupamiento al Presente

Que es el Factor de Distribución de un Valor Presente.

Como con este Factor se está encontrando la Anualidad o Renta, A, la fórmula es:

Formula Factor de Distribucion de un Valor Presente

Se observa que la relación entre la Anualidad A y el Factor Distribución de un Valor Presente de acuerdo a las anteriores ecuaciones es;

Factor Distribución de un Valor Presente

Que se traduce: La Anualidad A es igual al valor Presente P por un factor que convierte el valor presente a la Anualidad, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 2. Pedro compra con su tarjeta de crédito un computador portátil que tiene un valor de $2.300.000, y lo va a pagar a 12 cuotas mensuales. ¿De cuánto son las cuotas mensuales si la tasa es del 2.4% mensual?

Solución: los datos del problema son:

P = 2.300.000,
n= 12,
i = 2.4%= 0.024

Al utilizar la ecuación, se tiene:

A = P∙
i∙(1 + i)n/(1 + i)n − 1
A = 2.300.000∙
0.024∙(1 + 0.024)12/(1 + 0.024)12 − 1
A = 2.300.000 ∙ 0.09690 = 222.864.96

Respuesta: Pedro pagará cuotas mensuales de $ 222.864.96

Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.

2.3 Conversión de rentas a valor futuro

En este caso, se tiene el diagrama de flujo de la forma:

Diagrama Factor de Agrupamiento al Presente
Fig.2.3 Diagrama de Agrupamiento al Futuro

Para el caso de tener las anualidades y querer establecer el valor futuro F de estas, se tiene el Factor de Agrupamiento al Futuro:

Factor de Agrupamiento al Futuro

La Fórmula para calcular el Valor Futuro F dada la Anualidad A, es:

Formula de Agrupamiento de un Valor Futuro

Se observa que la relación entre el valor Futuro F y el Factor de agrup├ámiento de acuerdo a las anteriores ecuaciones es;

Relacion de Agrupamiento de un Valor Futuro

Que se traduce: El Valor Futuro F es igual al valor de la Anualidad A por un factor que convierte la Anualidad al valor Futuro, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 3. Supongamos que hemos hecho una serie de ahorros de $500.000 durante cuatro meses , al 3% mensual. Esta serie es de cuatro rentas mensuales, en donde la primera de ellas estaálocalizada en el periodo 1 y la óltima en el periodo n, que en este caso correspondel al periodo 4. Hallemos entonces el valor futuro de estas rentas, teniendo en cuenta nuestra hipótesis que nos dice que en el valor futuro esta localizada en el periodo n.

Solución: los datos del problema son:

A = 500.000,
n= 4,
i = 3.0 %= 0.03

Al utilizar la ecuación, se tiene:

F = A∙
(1 + i)n − 1/i
F = 500.000 A∙
(1 + 0.03)4 − 1/0.03
F = 500.000 ∙ 4.18363 = 2.091.813.5

Respuesta: Se tendrá ahorrado al final del cuarto mes la cantidad de $ 2.091.813.5

Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.

2.4 Calcular la Anualidad dado el Valor Futuro

Este es el caso contrario, y para encontrar la Distribución del Valor Futuro, se tienen las expresiones:

Factor de Agrupamiento al Futuro

Que es el Factor de Distribución de un Valor Futuro.

Como con este Factor se está encontrando la Anualidad o Renta, A, la fórmula es:

Formula Factor de Distribucion de un Valor Futuro

Se observa que la relación entre la Anualidad A y el Factor Distribución de un Valor Futuro de acuerdo a las anteriores ecuaciones es;

Factor Distribución de un Valor Futuro

Que se traduce: La Anualidad A es igual al valor Futuro F por un factor que convierte el valor Futuro a la Anualidad, a una tasa del i% durante n periodos.

Ejemplo 4. Juliana quiere ahorrar $ 5.000.000 para hacer un viaje de turismo por Europa dentro de 1 año. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente en cantidades iguales desde el próximo mes, si los deposita en una cuenta que le garantiza una tasa de rendimiento del 1.2% mensual?

Solución: los datos del problema son:

F = 5.000.000,
n= 12,
i = 1.2%= 0.012

Al utilizar la ecuación, se tiene:

A = F∙
i/(1 + i)n − 1
A = 5.000.000 ∙
0.012/(1 + 0.012)12 − 1
A = 5.000.000 ∙ 0.07798 = 389.877.2

Respuesta: Juliana debe ahorrar cada mes iniciando en el próximo mes y por 12 veces, una cantidad de $389.877.2, para tener $5.000.000 en un año.

Observe que al desarrollar el ejercicio, se utiliza el factor correspondiente. Se tienen en seactuario.com las calculadoras de varios Factores Financieros aquí.

Menú Matemáticas Financieras Anterior: Conversión Tasas de Interés Siguiente: Anualidades Diferidas y Perpetuas