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PROPORCIONALIDAD: LA FUNCION LINEAL

Matemáticas Básicas

Quiz de Proporciones

Quiz Proporc. Aplicada a la física

 

La función lineal es una de las más importantes y de mayor aplicación para las diferentes áreas del conocimiento y por consiguientes de muchas profesiones. De esta forma se modelan una gran cantidad de fenomenos y situaciones en áreas tan diversas como la química, la física y la economía entre otras. Para comprender mejor la función lineal recordemos un poco de la proporcionalidad entre dos variables, V1 y V2 . Se presentan dos situaciones posibles:

1) Variables Directamente Proporcionales: En este caso decimos que: V1 y V2 son Directamente Proporcionales si al aumentartar una de estas la otra variable aumenta o cambia en la misma PROPORCION, o al disminuir una de estas la otra también disminuye en la misma proporción. Observe que es en la misma proporción y no en la misma cantidad.

2) Variables Inversamente proporcionales: En este caso decimos que: V1 y V2 son Inversamente Proporcionales si al aumentartar una de estas la otra variable disminuye o cambia en la misma PROPORCION, o al disminuir una de estas la otra aumenta en la misma proporción.. Observe que es en la misma proporción y no en la misma cantidad.

Así por ejemplo miremos los siguientes problemas.

Ejemplo1 Cambio Directamente Proporcional: Entre 5 obreros construyen 20 metros de una vía en 10 días. Cuántos metros construirán de la misma vía 15 obreros durante los 10 días.

Solución: Observamos primero que se nos plantea una situación inicial (hay 5 obreros que construyen 20 metros de vía) y luego una segunda situación o situación final en que se consideran algunos cambios (ahora para 15 obreros, cuántos metros construyen). Se deben definir las variables (lo que realmente está cambiando), en este caso son los obreros (V1 = No. de obreros) y los metros de vía que construyen ( V2=metros de vía). Los días permanecen en ambas situaciones como un dato que no cambia, es constante, luego no es una variable. Sintetizamos la información en la siguiente tabla:

Situacion
V1= No obreros
V2 =metros obra
cambios presentados
Inicial
5
20
Final
15
x
Los obreros se triplican

Observe que los obreros en la situación final son tres veces los obreros iniciales, y el cambio es proporcional, es decir, entre más obreros se deben construir más metros de vía. Se debe mirar es la proporción en que cambia una de las variables para determinar el cambio en la otra. Los obreros son 10 más en cantidad pero son tres veces más en proporción, luego los metros de vía deben ser también tres veces los construidos, es decir 3x20 = 60 metros. El desarrollo del ejercicio si se hace con la forma típica de la regla de tres: es como se ve a continuación:

Las líneas de relación entre las variables se realizan de forma cruzada para el cambio proporcional. De esta forma al despejar x, el dato que está con la x pasa a dividir mientras los otros dos que no se relacionan con x pasan a multiplicar:

 

 

Ejemplo2 Cambio Inversamente Proporcional: Entre 5 obreros construyen 20 metros de una vía en 10 días. Para construir los 20 metros de la misma vía en solamente 2 días, ¿cuántos obreros se requerirán?.

Solución: Observamos primero que se nos plantea una situación inicial (hay 5 obreros que construyen los 20 metros de vía en 10 días) y luego una segunda situación o situación final en que se consideran algunos cambios (ahora para hacer el mismo trabajo en sólo 2 días, cuántos obreros se requieren). Se deben definir las variables (lo que realmente está cambiando), en este caso son los obreros (V1 = No. de obreros) y los días de trabajo ( V2=días). Los metros de vía permanecen en ambas situaciones como un dato que no cambia, es constante, luego no es una variable. Sintetizamos la información en la siguiente tabla:

Situacion
V1= No obreros
V2 =días
cambios presentados
Inicial
5
10
Final
x
2
Los días se reducen a la quinta parte.

Observe que los obreros en la situación final son tres veces los obreros iniciales, y el cambio es proporcional, es decir, entre más obreros se deben construir más metros de vía. Se debe mirar es la proporción en que cambia una de las variables para determinar el cambio en la otra. Los obreros son 10 más en cantidad pero son tres veces más en proporción, luego los metros de vía deben ser también tres veces los construidos, es decir 3x20 = 60 metros. El desarrollo del ejercicio si se hace con la forma típica de la regla de tres: es como se ve a continuación:

 

Las líneas se realizan de forma horizontal para el cambio de proporcionalidad inversa. De esta forma al despejar x, el dato que está con la x pasa a dividir mientras los otros dos que no se relacionan con x pasan a multiplicar:

La Función lineal

La proporcionalidad se expresa adecuadamente con la ecuación de la recta, la cual es de la forma:
Y = mX + Yo
Donde Y es la variable que se encuentra en el eje vertical (eje de la ordenada) y X es la variable que se representa en el eje horizontal (eje de la abscisa). Yo (también se le suele llamar c) es el punto de corte de una recta con el eje vertical y m es la pendiente o tasa de cambio o variación entre la variable Y y la variable X:
m = Cambio en Y / Cambio en X



La ecuación de una recta también se puede escribir en la forma:
AX + BY = K
De esta forma para encontrar la pendiente, se debe despejar Y.

Ejemplo:
¿Cuál es la pendiente de la recta 4X + 2Y = 10 y dónde corta el eje vertical?
Al despejar Y para llevarla a la forma Y = mX + Yo, tenemos:

4X + 2Y = 10 Recta dada por el problema
2Y = -4X + 10 Pasamos 4X a restar al lado derecho

Y= -2X + 5 pasamos el 2 a dividir y simplificamos

De esta forma, la recta tiene pendiente –2 y corta al eje vertical en 5.

Responde las siguientes preguntas:
1.  La ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas tiene la forma

A. Y= AX2+BX+C
B. AX + BY=0
C. Y=K
D. Y = mX+B
E. AX+BY+C=0

2.  De las siguientes afirmaciones sobre la recta 2X-3Y+4=0,
es verdadera una, ¿cuál?:

A. Tiene pendiente negativa y pasa por P(0 ;4/3)
B. Tiene pendiente positiva y pasa por P (-2 ;1)
C. Pasa por P(-1/2, 1) y por el origen
D. Tiene pendiente positiva y pasa por P(-2, 0)
E. Falta información


3.  Es FALSO afirmar que :
A. Existen infinitos puntos pertenecientes a una recta
B. Por un punto pasan infinitas rectas
C. si un punto y un plano tienen una recta en común, entonces la recta está necesariamente en el plano
D. Dos puntos determinan una recta
E. si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta puede estar contenida en el plano.

4.  Es FALSO afirmar que, en un plano :
A. Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales.
B. Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es -1.
C. Si dos rectas no se cortan son perpendiculares
D. Si dos rectas no se cortan son paralelas.
E. Ninguna de las anteriores.
A.

Responde de acuerdo a las siguientes gráficas:


5.  Cuál de las anteriores gráficas de velocidad contra tiempo representa el movimiento de un vehículo que parte del reposo y acelera uniformemente durante un tiempo determinado, sigue con la velocidad adquirida sin acelerar y por fin desacelera hasta detenerse?
A. B. C. D.

6.  Una gráfica que representa un movimiento imposible ya que implicaría un retroceso en el tiempo (viaje al pasado) es:
A. B. C. D.

7.  Cuál de las anteriores gráficas de velocidad contra tiempo representa el movimiento de un vehículo que lleva una velocidad (no está en reposo) y luego acelera uniformemente durante un tiempo determinado y de inmediato desacelera hasta detenerse?
A. B. C. D.

8.  Cuál de las anteriores gráficas de velocidad contra tiempo representa el movimiento de un vehículo que parte del reposo y acelera uniformemente durante un tiempo determinado y finalmente sigue con la velocidad adquirida sin acelerar (velocidad constante)?
A. B. C. D.