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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

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Considere una partición del espacio muestral S, constituida por los eventos B1, B2,..., Bn que son mutuamente excluyentes (esto es,Bi∩Bj = 0), y colectivamente exhaustivos(esto es, B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn) = S). Un evento A cualquiera siempre se puede descomponer en los eventos (A∩B1),(A∩B2), (A∩B1) que son mutuamente exclusivos, con lo que:

probabilidad total

La probabilidad del evento A siempre puede expresarse como la suma de las probabilidades de los eventos A ∩Bi. Así se plantea el teorema de probabilidad total como se muestra a continuación.

.

Teorema de la Probabilidad Total

Si los eventos B1, B2,..., Bn constituyen una partición de un espacio muestral S, tal que P(B1) ≠ 0 para i=1, 2, ...,n, entonces para cualquier evento A de S,

Ejemplos

Ejemplo 1. Supongamos que se crea un Comité Anticorrupción en el Congreso de la República. Este comité está conformado por 40 congresistas de varios partidos como se indica a continuación:

- Partido Liberal (L): 6
- Partido Cambio Radical (R): 8
- Partido Centro Democrático (D): 8
- Partido de la U (U): 12
- Partido Verde (V): 6

Como por Ley NO puede haber doble militancia, es decir, todo congresista puede pertenecer únicamente a un partido político, entonces podemos hablar de una partición de este comité. Ahora consideremos un Evento C extraordinario para este tipo de comité, el de que uno de estos congresistas sea Corrupto, como cualquiera de los congresistas del comité podría ser corrupto (Evento C), luego este evento presenta Intersección con todos los subconjuntos de la partición, como se ilustra en la siguiente figura:

Particion teorema Probabilidad Total

Ahora si pasamos todo a probabilidades, dividiendo el número de elementos de cada subconjunto (cardinalidad) entre el total que es 40, se obtiene:

Particion teorema Probabilidad Total

Si una investigación sobre la Corrupción en los partidos ha determinado que:

- El 10% de los congresistas del partido Liberal (L) están siendo investigados por corrupción
- El 25% de los congresistas del partido Cambio Radical (R) están siendo investigados por corrupción
- El 30% de los congresistas del partido Centro Democrático (D) están siendo investigados por corrupción
- El 15% de los congresistas del partido de la U (U) están siendo investigados por corrupción
- El 5% de los congresistas del partido Verde (V) están siendo investigados por corrupción

Con la información anterior, se tienen las probabilidades condicionadas de que un congresista sea Corrupto dado que pertenece a un partido, así es como P(C ∣ L) = 0.1 para la probabilidad de que un congresista sea Corrupto (C) dado que es del partido Liberal (L).

Si nos piden calcular la probabilidad de encontrar a uno los congresistas del Comité Anticorrupción como Corrupto, por el Teorema de la Probabilidad Total se tiene:

Ecuacion teorema Probabilidad Total

Al sustituir los datos que se tienen tanto en la partición para la representación en el Comité por cada partido político, como los de la investigación por corrupción, se obtiene:

Ecuacion teorema Probabilidad Total

Consideremos el siguiente ejemplo.

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Bogotá y Medellín sufra un accidente en día nublado es 0,09 y en día seco 0,005. Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nubosos ¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente?
Tratemos de resolver el problema con ayuda de un diagrama de árbol, con:

- N: Evento de que el día sea nuboso

- S: Evento de que el día sea seco (No nuboso o equivalente a N', es decir evento complementario de N)

- A: Evento de que se presente un accidente

- A': Evento de que No se presente un accidente


A la vista del diagrama, se tiene que:

P(Accidente) = P(Accidente en día nublado) + P(Accidente en día seco)

y al aplicar el Teorema de la Probabilidad Total como:

P(A) = P(N)∙P(A/N) + P(S)∙P(A/S), se obtiene:

P(A)= 0,3 ∙ 0,09 + 0,7 ∙ 0,005 = 0,0305

Ahora practique los conceptos con nuestra Aplicación Teorema Probabilidad Total y Regla de Bayes


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