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VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

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La media por sí sola no es suficiente para describir la forma de una distribución de probabilidad. Es muy importante conocer también la variabilidad o dispersión de las observaciones con respecto a la media.

La medida de variabilidad de ua variable aleatoria X que se obtiene mediante el cálculo del valor esperado de la función de la desviación de cada observación con respecto a la media, esto es, E(X − μ)2, es la Varianza de la variable aleatoria X o de la disribución de probabilidad X, y se denota como Var(X) o simbolicamente como σ2

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media μ. La varianza de X es

La raíz cuadrada de σ2 es la Desviación Estándar de X.


Ejemplo. El almacén "Baterias Mundial" que vende su propia marca de batería y da garantía sobre la misma, encuentra que mensualmente se tienen los siguientes reclamos por garantía:

Número de reclamos (x)0123
P(X) =0.710.210.070.01

Encuentre la varianza en el Número de reclamos por baterías.

En el tema de valor esperado se calculó ya la media, como μ = E(X) = 0.38, luego

σ2 = E(X − μ)2 = (0 − 0.38)2∙0.72 + (1 − 0.38)2∙0.21 + (2 − 0.38)2∙0.07 + (3 − 0.38)2∙0.01 = 0.4356

Otra forma más sencilla de calcular la varianza de una variable aleatoria, sea discreta o continua, es:

La varianza de una variable aleatoria X con media μ, es:

σ2 = E(X2) − μ2

Evalúe la varianza del ejemplo anterior mediante la última fórmula.:

Solución. Primero evalúese E(X2):

E(X2) = 0 2 ∙ 0.71 + 12∙0.21 + 22∙0.07 + 32∙0.01 = 0.580

Luego la varianza, es:

σ2 = E(X2) − μ2 = 0.580 − 0.382 = 0.4356

Aplicación para la medición del riesgo [Gitman, Lawrence]. El indicador estadístico más común del riesgo de un activo es la desviación estándar, σk, que mide la dispersión alrededor del valor esperado de un rendimiento km. En varios países se toma la tasa de interés bancaria como referencia para evaluar la rentabilidad de un activo, una inversión, proyecto o un nuevo negocio. Si la tasa de rendimiento del activo es inferior a la bancaria (se suele tomar la DTF en Colombia), se considera que no es atractivo este activo. Si la tasa de rendimiento (o también la TIR o Tasa Interna de Retorno) es superior a la de referencia bancaria, el negocio es atractivo pero ahora también se debe evaluar el riesgo.

En las siguientes tablas se presentan los valores esperados de los rendimientos estimados sobre los proyectos de ingeniería A y B de la empresa Ingenieros Asociados, en dólares. La empresa tiene recursos para llevar a cabo solo uno de los dos proyectos, para lo cual realiza unos estudios y tomar la decisión sobre aquel que le genere mejores rendimientos económicos con el menor riesgo.

Proyecto A
Resultados
posibles
Probabilidad
(1)
Rendimiento
(2)
Valor ponderado
(1)x(2)
Pesimista0.313%3.9%
Más probable0.415%6.0%
Optimista0.317%5.1%
  Total1.0Rendimiento esperado15%


Proyecto B
Resultados
posibles
Probabilidad
(1)
Rendimiento
(2)
Valor ponderado
(1)x(2)
Pesimista0.37%2.1%
Más probable0.415%6.0%
Optimista0.323%6.9%
  Total1.0Rendimiento esperado15%

Hasta el análisis realizado en este punto, el valor esperado de cualquiera de los proyectos da el mismo rendimiento del 15%. Por el solo hecho de que el rango de rendimientos del proyecto B se encuentra entre el 7% y el 23%, esto implica mayor dispersión y sugiere un mayor riesgo. Para estar seguros, se evalúa ahora la desviación estándar para cada proyecto,con km como el rendimiento promedio del proyecto (Observación: La diferencia al cuadrado entre un rendimiento y su rendimiento promedio, tendría unidades de porcentaje al cuadrado, pero este tipo de unidades no suele utilizarse por lo cual solo se indica como porcentajes):

Proyecto A
jkjkmkj - km(kj - km)2Probj(kj - km)2xProbj
113%15%−2%4.0%0.301.2%
215%15%0%0.0%0.400.0%
317%15%2%4.0%0.301.2%
  Suma:Varianza: Σj (kj - km)2xProbj = 2.4%

Luego la desviación estándar es:   σk=√(2.4) = 1.55%



Proyecto B
jkjkmkj - km(kj - km)2Probj(kj - km)2xProbj
17%15%−8%64.0%0.3019.2%
215%15%0%0.0%0.400.0%
323%15%8%64.0%0.3019.2%
  Suma:Varianza: Σj (kj - km)2xProbj = 38.4%

Luego la desviación estándar es:   σk=√(38.4) = 6.20%

Conclusión: La desviación estándar de mayor valor corresponde a la del rendimiento financiero del proyecto B, indica que este es más riesgoso, por lo cual la empresa se debe inclinar por escoger el proyecto A.

Coeficiente de Variación

El Coeficiente de Variación, CV, es una medida de dispersión relativa que es de utilidad para comparar los riesgos de activos o proyectos con diferentes rendimientos esperados. Esta se define como:
Coeficiente de Variación:

En cuanto mayor es el coeficiente de variación, es mayor el riesgo y por lo tanto, es superior el rendimiento esperado. Al calcular el CV para los proyectos A y B se obtienen 0.103 y 0.41 respectivamente, con lo que el proyecto B es aproximadamente 4 veces más riesgoso que el proyecto A.

Ejemplo. La empresa Ingenieros asociados, una vez concluye satisfactoriamente su proyecto A, desea seleccionar ahora entre dos proyectos C y D. Obtiene información sobre el rendimiento esperado y la desviaciación estándar de los mismos:

EstadísticasProyecto CProyecto D
Rendimiento esperado15%20%
Desviación estándar12%14%

Al evaluar los CV, son de 0.80 (evaluado como 12% / 15%) para el proyecto C y 0.70 (calculado como 14% / 20%). Luego, si la empresa considera sólo la Desviación estándar, se inclinaría por el proyecto C cuyo valor es menor (12% en comparación al 14% del proyecto D). Sin embargo hacer esto sería un grave error ya que por el criterio del CV, es mayor el riesgo del proyecto C y se debe escoger apropiadamente el proyecto D.


Ejemplo de valor esperado para Variable aleatoria continua. Sea X una v.a. continua, según:

Encontrar la varianza de X, con la primera y con la segunda fórmula.

Solución. El valor esperado de X, es:

La varianza con la primera fórmula, es:

Para la segunda fórmula, se encuentra primero E(X2) :

y la varianza de X, es:

Evalúese ahora con el Quiz interactivo de Valor esperado y varianza de Variables aleatorias discretas y continuas.

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