TERMINOLOGÍA DE BONOS E INTERÉS

Un bono es una obligación a largo plazo, emitida por una corporación o una entidad gubernamental, con el propósito de conseguir el capital necesario para financiar obras de importancia. Las condiciones para el pago del dinero obtenido por el prestatario se especifica en el momento de emitir los bonos. Dichas condiciones incluyen el valor nominal del bono, la tasa de interés del bono, el período de pago de interés y su fecha de vencimiento.

El valor nominal del bono, que se refiere a la denominación del bono, es usualmente una denominación par que comienza por $100, siendo el más común el bono de $1000.

El valor nominal es importante por dos razones:

1. Representa la suma total que deberá pagarse al tenedor del bono a la fecha del vencimiento de éste.
2. Los intereses I, que se pagan periódicamente, previos a la fecha de vencimiento del bono, se determinan multiplicando dicho valor nominal por la tasa de interés del bono por período cono sigue

(1)

A menudo se compra un bono con descuento (más barato que su valor nominal) o con una prima (mayor que su valor nominal), pero solamente se utiliza el valor nominal, no el de compra para calcular el interés del bono (1). Los Ejemplos 1 y 2 ilustran el cálculo de intereses producidos por los bonos.

Ejemplo 1

Una fábrica de pantalones que está planeando una expansión, emite bonos de $1.000 a 4% para financiar el proyecto. Los bonos vencerán en 20 años con intereses pagaderos semestralmente. El señor Hernández, compró un bono a través de su agente de bolsa por $800. ¿A qué pagos tiene derecho el señor Hernández?

Solución.   En este ejemplo el valor nominal del bono es de $1.000. Por consiguiente el señor Hernández recibirá sus $1.000 a la fecha de vencimiento de los bonos, es decir dentro de 20 años. Además, el señor Hernández recibirá semestralmente los intereses que la compañía prometió pagar cuanto emitió los bonos. Los intereses cada 6 meses se calculan utilizando F = $1.000, b = 0,05 y c = 2 en la ecuación (11.1):

Ejemplo 2

Determínese la cantidad de interés que usted recibirá por período si se compra un bono de $5.000 a 6% con vencimiento dentro de 10 años e intereses trimestrales.

Solución.   Como los intereses se pagan trimestralmente, se recibirán intereses cada 3 meses. La cantidad que se recibirá es:

Por lo tanto, se recibirán $75 de intereses cada 3 meses y además una suma global de 5.000 a los 10 años.

Un bono con cupón cero es el que no paga interés periódicamente. Esto es, el bono tiene una tasa de interés de cero. El ¿por qué de esto? Porque se venden con un descuento de más de 75% sobre su valor nominal, así su rendimiento al vencimiento es lo suficientemente atractivo para el inversionista. Bonos de franja son simplemente bonos convencionales cuyos intereses son vendidos separadamente por su valor nominal. Los bonos de franja entonces se comportan como si fueran bonos con cupón cero.

Cálculos del valor presente de los bonos

Cuando una compañía, o un organismo gubernamental ofrecen bonos para la financiación de proyectos importantes, los inversionistas deben determinar cuánto están dispuestos a pagar por un bono de una denominación dada. La cantidad que paguen por el bono determinará la tasa de retorno de la inversión. Por consiguiente, los inversionistas deben determinar el valor presente del bono, que cumplirá con una tasa de retorno específica.

Estos cálculos se muestran en el Ejemplo 3.

Ejemplo 3

El señor Castro quiere ganar 8% de interés capitalizable semestralmente, de una inversión en bonos. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar hoy por un bono de $10.000 a 6%, cuyo vencimiento tendrá lugar en 15 años y que pague intereses semestralmente?

Figura 1 Flujo de caja para una inversión en bonos, Ejemplo 3

Solución. Como el interés es pagadero semestralmente, el señor Castro recibirá el siguiente pago:

El diagrama de flujo de caja (Figura 11.1) para esta inversión, nos permite escribir una relación de valor presente para calcular el valor del bono hoy, utilizando una tasa de interés de 4% semestral, el mismo período de interés que el bono. Obsérvese en la siguiente ecuación que i es simplemente un valor A.

P = 300(A/P,4%,30)+10.000(P/F,4%,30) = $8.270,60

Así el señor Castro puede comprar el bono por $8.270,60 y recibirá una tasa de retorno nominal de 8% anual sobre su inversión. Si él pagara más de $8.270,60 por el bono, la tasa de retorno sería menor de 8% y viceversa.

Comentario .   Es importante observar que la tasa de interés utilizada en los cálculos de valor presente de la tasa de interés por período que el señor Castro quiere ganar y no la tasa de interés del bono. Como él quiere ganar 8% anual capitalizable semestralmente , la tasa de interés por período de 6 meses en 8%/2=4%. La tasa de interés del bono se utiliza solamente para determinar la cantidad de interés que se pagará. Si desea revisar sus conceptos de tasa de interés nominal y efectivo. Cuando el período de capitalización del inversionista es diferente al período de pago de intereses del bono.

El ejemplo 4 ilustra los cálculos cuando el período de capitalización del inversionista es menor que el período de interés del bono.

Ejemplo 4

Calcule el valor presente de un bono de $5.000 a 4,5% con intereses pagaderos semestralmente. El bono vencerá en 10 años y el inversionista desea ganar 8% capitalizable trimestralmente, sobre su inversión.

Solución.   El interés que recibirá el inversionista desea es:

El valor presente de los pagos mostrados en la figura 11.2 puede calcularse por una de las dos siguientes formas:

1. Llevar cada pago de intereses ($112.50) hasta el año 0 en forma separada y sumarlo al valor presente de los $5.000. En este caso, la tasa de interés sería 8%/4=2% por trimestre y el número de períodos sería el doble de los que se muestran en la figura 11.2, ya que el pago de intereses se hace trimestralmente, mientras que la tasa de retorno deseada se capitaliza trimestralmente, Así:

1. Determinar la tasa de interés efectivo capitalizable semestralmente (período de interés del bono) que equivaldría a una tasa nominadle 8% capitalizada trimestralmente (como establece el problema) y luego utilizar el factor P/A para calcular el valor presente del interés y sumarlo al valor presente de los $5.000. La tasa semestral es de 8%/2=4%. Como hay dos trimestres en un período de 6 meses.

Figura 2 Flujo de caja para el Ejemplo 4

El valor presente del bono puede determinarse ahora con cálculos similares a los del Ejemplo 3.

P = 112.50 (P/A, 4.04%, 20) + 5.000 (P/F, 4.04%, 20) = $3.790

En resumen, los pasos que deben seguirse para el cálculo del valor presente de una inversión en bonos son los siguientes.

1. Calcular el interés que se pagará por período (I), utilizando el valor nominal (F), la tasa de interés del bono (b) y el número de períodos de interés por año (c), por medio de I = Vb/c.
2. Dibujar el diagrama de flujo de lo que produzcan los bonos para incluir el interés y el valor nominal.
3. Determinar la tasa de retorno deseada por el inversionista por período. Cuando el período de interés de los bonos y el período de capitalización del inversionista no son iguales, es necesario utilizar la fórmula de la tasa de interés efectivo para hallar la tasa de interés adecuada por período.
4. Sumar los valores presentes de todos los flujos de caja.

Tasa de retorno sobre la inversión en bonos

Para calcular la tasa de retorno recibida por una inversión en bonos, deben utilizarse los procedimientos de las secciones anteriores, éstos para establecer la periodicidad y magnitud de los ingresos asociados con una inversión en bonos; la tasa de retorno de la inversión podrá determinarse planteando y resolviendo la ecuación de la tasa de retorno. El siguiente ejemplo indica el procedimiento general para calcular la tasa de retorno de una inversión en abonos.

Ejemplo 5

En el ejemplo 1 se dijo que el señor Hernández pagó $800 por un bono de $1.000 a 4%, con vencimiento a los 20 años e intereses pagaderos semestralmente. ¿Qué tasas anuales de interés nominal y efectivo recibe el señor Hernández de su inversión, si la capitalización es semestral?

Solución.   Los ingresos que recibirá el señor Hernández de la compra del bono es el interés del bono cada 6 meses más su valor nominal dentro de 20 años. La ecuación para calcular la tasa de retorno utilizando el flujo de caja de la figura 11.3, será:

0 = -800 + 20 (P/A, i%, 40) + 1.000 (P/F, i%, 40)

Que puede resolverse para obtener i = 2.87% capitalizable semestralmente. La tasa de interés nominal es calculada como la tasa de interés por período multiplicada por el número de períodos, es decir:

I nominal = 2.87% (2) = 5.74% anual

Figura 3   Flujo de caja para el Ejemplo 5

Ejemplo adicionales

Ejemplo 6

La señorita Alejandra quiere invertir en algunos bonos hipotecarios de $10.000 a 4% a 20 años, con intereses pagaderos semestralmente. Si ella requiere una tasa de retorno de 10% anual capitalizable semestralmente y puede comprar los bonos a través de un corredor de bolsa a un precio descontando de $8.375. (a) ¿Debería realizar la compra? (b). Si comprara el bono, ¿cuánto ganaría en pesos?

Solución.  

(a). El interés cada 6 meses es:

Para la tasa nominal de 10%/2=5% por cada 6 meses

Si la señorita Alejandra debe pagar $8.375 por el bono, no puede estar cerca de 10% capitalizable semestralmente, luego no debe comprar esos bonos.

(b). Si ella compra los bonos a $8.375, se puede calcular la cantidad ganada calculando el valor futuro, suponiendo que la señorita Alejandra reinvertirá todos los intereses a 10% capitalizados semestralmente:

F = 200 (F/A, 5%, 40) + 10.000 = $34.159

Por lo tanto, ella obtiene una ganancia total de $34.159-8.375 = $25.874 sin embargo, como se estableció en la parte a, su tasa de retorno será mucho menor de 10% anual.

Ejemplo 7

En el ejemplo precedente, la señorita Alejandra podría entristecerse por su inhabilidad de lograr 10% capitalizable semestralmente si ella paga $8.375 por un bono de $10.000 a 20años y 4% anual. Calcule (a) las tasas de retorno nominal y efectivo anual del bono y (b) la ganancia en pesos si dicha tasa se utilizará para reinversión.

Solución.

•  La ecuación de la tasa de retorno es:

0 = -8.375 + 200 (P/A, i%, 40) + 10.000 (P/f, i%, 40)

La solución por interpolación muestra que i = 5.4% anual nominal (2.70% semestral) y que i = 5.47% efectivo.

•  Utilizando una tasa nominal de 5.40% capitalizada semestralmente, hallaremos que el valor futuro del bono es:

F = 200 (F/A, 2.7%, 40) + 10.000 = $24.180

que representa una ganancia de $15.805

Ejemplo 8

Un inversionista pagó por un bono de $10.000 a 8%, $4.240 con intereses pagables trimestralmente. El bono incumplió y, entonces no pagó intereses por los primeros 3 años después de que el inversionista lo compró. Si pagó intereses por 7 años y el inversionista lo vendió por $11.000, ¿qué tasa de retorno consiguió el inversionista? Asumir que le bono vencerá a los 18 años después de su compra.

Solución.   Los intereses recibidos por el inversionista de los 4 años a 10 fueron:

La tasa de retorno trimestral puede determinarse resolviendo una ecuación de la tasa de retorno como la siguiente:

Por prueba y error, I = 4.1% anual capitalizable trimestralmente.

Comentario.   La ecuación de la tasa de retorno obviamente puede también escribirse en términos de pesos anuales A o en pesos futuros F.

Ejercicios de Anualidades