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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

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Considere una partición del espacio muestral S, constituida por los eventos B1, B2,..., Bn que son mutuamente excluyentes (esto es,Bi∩Bj = 0), y colectivamente exhaustivos(esto es, B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn) = S). Un evento A cualquiera siempre se puede descomponer en los eventos (A∩B1),(A∩B2), (A∩B1) que son mutuamente exclusivos, con lo que:

probabilidad total

La probabilidad del evento A siempre puede expresarse como la suma de las probabilidades de los eventos A ∩Bi. Así se plantea el teorema de probabilidad total como se muestra a continuación.

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Teorema de la Probabilidad Total

Si los eventos B1, B2,..., Bn constituyen una partición de un espacio muestral S, tal que P(B1) ≠ 0 para i=1, 2, ...,n, entonces para cualquier evento A de S,

Consideremos el siguiente ejemplo.

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Bogotá y Medellín sufra un accidente en día nublado es 0,09 y en día seco 0,005. Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nubosos ¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente?
Tratemos de resolver el problema con ayuda de un diagrama de árbol, con:

- N: Evento de que el día sea nuboso

- S: Evento de que el día sea seco (No nuboso o equivalente a N', es decir evento complementario de N)

- A: Evento de que se presente un accidente

- A': Evento de que No se presente un accidente


A la vista del diagrama, se tiene que:

P(Accidente) = P(Accidente en día nublado) + P(Accidente en día seco)

y al aplicar el Teorema de la Probabilidad Total como:

P(A) = P(N)∙P(A/N) + P(S)∙P(A/S), se obtiene:

P(A)= 0,3 ∙ 0,09 + 0,7 ∙ 0,005 = 0,0305

Ahora practique los conceptos con nuestra Aplicación Teorema Probabilidad Total y Regla de Bayes


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