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PROBABILIDAD COMPUESTA O DE LA INTERSECCION DE EVENTOS

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Distinguiremos dos casos :

a) cuando los sucesos son independientes.
b) Cuando los sucesos son dependientes

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

Acabamos de ver que si A y B son independientes, se verifica que:

 P(B| A)= P(B), o bien P(A ∩ B)= P(A) ∙ P(B).
 

Si A y B son dos sucesos independientes, se verifican que la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos:

P(A ∩ B)= P(A) ∙ P(B).
 
La probabilidad de que dos personas de un grupo cumplan años el mismo día varia con el número de individuos del grupo. Para un grupo de 10 personas la probabilidad es aproximadamente 0,1.Para un grupo de 25 personas aproximadamente 0,5. Por encima de 50 individuos la probabilidad es casi 1.

 
 

Análogamente, para el caso de tres sucesos independientes , se tiene:
P(A ∩ B ∩ C)= P(A) ∙ P(B) ∙ P(C)

Probabilidad de sucesos dependientes
A partir de la definición de probabilidad condicionada, se obtiene:

P(A∩B)= P(A) ∙ P(B|A)

o bien:

 
P(A ∩B)= P(B) ∙ P(A|B)
 

Si A y B son dos sucesos dependientes de un mismo experimento aleatorio , se verifica que la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos, supuesta no nula, por la probabilidad del otro, condicionada a la realización del anterior:
P(A ∩ B)= P(A)∙ P(B|A)
 

Análogamente para el caso de tres dependientes, se tiene :


P(ABC)= P(A) ∙ P(B|A) ∙ P(C|AB)

Ya que:

P(ABC) = P[(AB)C], por asociativa de la unión
= P[(AB).P(C |AB), por definición de probabilidad condicionada
= P(A). P(B | A). P(C | AB) por definición de probabilidad condicionada
 

Para el caso de n sucesos, esta proporción se conoce con el nombre de teorema de la probabilidad compuesta, y dice así:

Si A1, A2...,An son n sucesos dependientes de un mismo experimento aleatorio y tales que la probabilidad de la realización, simultanea de los n sucesos no es nula , se verifica entonces:
P(A1A2...An) = P(A1)·P(A2| A1)·...P(An| A1A2 An-1)
 

Ejercicios resueltos

1.En un examen de física, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar a dos temas extraídos al azar del total de temas del cuestionario. Hallar la probabilidad de que los temas sean de los que el alumno estudió.

Sea B1="contestar bien el tema primero";
Sea B2="contestar bien el tema segundo".
 

La probabilidad pedida es la del suceso B1∩B2.
 

Sea B1="contestar bien el tema primero";
Sea B2="contestar bien el tema segundo".
La probabilidad pedida es la del suceso B1∩B2.
Como los sucesos son dependientes, la probabilidad pedida es:

P(B1∩B2)= P(B1).P(B2/B1)= (15/25)·(14/24) = 0.35
 

En la ilustración de la derecha tenemos  B1'="No contestar bien el tema primero" y  B2'="No contestar bien el tema segundo", es decir, son los sucesos contrarios de B1 y B2.

Conteste las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al estudiante le salga solo un tema que ha estudiado?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al estudiante le salgan dos temas que No ha estudiado?

Ahora lo invitamos a practicar con el Ejercicio Interactivo de Probabilidad Condicional e Independencia

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