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PROBABILIDAD CONDICIONAL

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26. Introducción a la Probabilidad Condicional.

En muchas ocasiones se obtiene información parcial acerca de un Experimento Aleatorio antes de que sea conocido el resultado final. Con base en la información dada, se cambia la estructura probabilística de los posibles resultados, ya que por ejemplo, habrán algunos de los posibles resultados que ahora se tiene certeza que que ocurran o no.

Iniciamos con un ejemplo: Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora , realizada sobre 334 universitarios de ambos sexos, de 18 a 25 años de edad, están registrados en esta tabla:

Consideremos los siguientes sucesos:

A = "ser varón",
A’= "ser mujer",
B = "tener actitud progresista",
B’= "tener actitud conservadora",

Donde A es el suceso contrario de A' y B es el suceso contrario de B'.

AB = " ser varón y tener actitud progresista".

A'B = " ser Mujer y tener actitud progresista".

AB' = " ser varón y tener actitud conservadora".

A'B' = " ser Mujer y tener actitud conservadora".

Calculemos las frecuencias relativas de los sucesos anteriores:
 

A: Varon A': Mujer
B Progresista h(AB) = 145/334 h(A'B) = 42/334
B' Conservadora h(AB') = 51/334 h(A'B') = 96/334

 

Consideremos ahora una nueva frecuencia relativa, la de los varones que tienen actitud progresista, que expresaremos así; h(B|A).
Se tiene que h(B|A)= 145 | 196, ya que son 145 los que tienen actitud progresista de entre los 196 varones. Esta frecuencia se denomina frecuencia relativa del suceso B condicionada al suceso A.
A partir de los resultados obtenidos, se verifica la siguiente igualdad:

h(B/A) = h(AB) 145/334
_________ = _______
h(A) 196/334

= 145/196


A través de un proceso de abstracción , y teniendo en cuenta que la frecuencia relativa de un suceso , tras una larga serie de pruebas tiende a la probabilidad (ley de los grandes números), definimos el concepto de probabilidad condicionada del siguiente modo:

Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y la denotamos por P(B|A), al cociente siguiente:

Análogamente, la probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B viene dada por la siguiente expresión :

 
De las dos relaciones anteriores y ya que:
se obtiene:

Ahora veamos la siguiente definición que es fundamental en este y los siguientes temas.

Probabilidades a priori (anterior) y a posteriori (posterior)

La probabilidad P(A) es la probabilidad del evento A antes de introducir nuevos eventos que puedan afectar a A. Se conoce como la probabilidad previa de A (o a priori). Cuando la ocurrencia de un evento B afectará el evento A, entonces P(A|B) es conocida como la probabilidad posterior de A (a posteriori).
Ejercicios resueltos

1.Se extraen sucesivamente, dos cartas de una baraja española (Recuerda que en total son 40 cartas de las cuales hay 4 reyes: de oros, de bastos, de copas y de espadas). ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos reyes?

Sea R1 = "Sacar rey en la primera extracción".
Sea: R2= "Sacar rey en la segunda extracción".
por consiguiente:
R1 '= " No sacar rey en la primera extracción".
Sea: R2'= "No sacar rey en la segunda extracción".

Como las dos cartas se extraen sucesivamente, equivale a extraer la primera y, sin devolverla, realizar una nueva extracción:

Se pide la probabilidad del suceso R1R2


En la figura de la derecha se observa un diagrama de árbol del problema.

P(R1∩R2) = P(R1)∙P(R2|R1)

La probabilidad P(R2|R1) = 3/39, pues una vez sale la primera carta -un rey-, quedan 39 cartas, de las que sólo hay tres reyes.
 

Luego P(R1R2) = (4/40)(3/39) = 1/130

Ejemplo 2. De una urna que contiene nueve bolas rojas y cinco negras se extraen sucesivamente dos bolas. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que la primera sea roja y la segunda negra.

b) Que una sea roja y la otra negra.

Sln a): Sean los eventos

R1 = "Sacar bola roja en la primera extracción".
N2 = "Sacar bola negra en la segunda extracción".

La probabilidad pedida será:

P(R1∩N2) = P(R1)·P(N2|R1) = (9/14)(5/13) = 45/182 ≈ 0.247

b)  Sacar una roja y una negra puede considerarse de dos formas.

i) primero la roja y después la negra (R1∩N2)
ii) o, bien primero la negra y después la roja (N1∩R2) .

Por tanto, se trata se calcular la probabilidad del suceso unión:

P[(R1∩N2) ∪(N1∩R2)] = P( R1∩N2) + P(N1∩ R2)

La primera de estas ya se obtuvo de la parte a), ahora

P(N1∩ R2)= (5/14)(9/13) = 45/182

Por consiguiente:

P( R1∩N2) + P(N1∩ R2) = (45/182) + (45/182) = 90/182 ≈ 0.495

Se puede observar que muchos problemas de un experimento aleatorio en los cuales solo se consideren dos eventos, de acuerdo a:

A: Evento de interés
A': Evento contrario

y si se realiza la repetición del experimento, se puede analizar el problema con un diagrama de árbol como:

en el cual se han indicado las probabilidades correspondientes en cada rama

.

Un juego de Probabilidad Condicional:"Prueba y Respuesta"

Para reforzar el concepto de Probabilidad Condicional de una forma lúdica, hemos diseñado un juego muy entretenido y de reto.
Hay dos jugadores: el usuario (o aprendiz de la probabilidad) que puede ser cualquier persona, hasta un niño, y Wilson por www.seactuario.com.

Cada jugador mediante información que va obteniendo mediante preguntas con respuesta de Sí o No, y un apropiado análisis, podrá llegar al número obtenido del otro jugador al lanzar un par de dados.

Que inicie la diversión haciendo click aquí: Iniciar Juego de Probabilidad Condicional:"Prueba y Respuesta"

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