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DISTRIBUCIÓN DE POISSON

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DISTRIBUCION DE POISSON p(x;λ). La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios que realizó durante la última etapa de su vida. Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc:

Las característica de la distribución de Poisson, son:

En esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto está dado por el azar y cada intervalo de tiempo o área es independiente de otro intervalo dado o área.

Ejemplo 1. El número de personas que ingresan diariamente a la enfermería de una universidad, tiene una distribución Poisson de media 6. ¿A qué es igual la probabilidad de que, en un día en particular, el número de personas que ingresan a la enfermería, en dicha universidad, sea menor o igual a 3?
Solución: Sea X = "número de personas que ingresan diariamente a la enfermería". Por los datos del problema, se sabe que X se distribuye de acuerdo a la Poisson con λ = 6, y se pide P(X ≤ 3), por lo tanto:

Tablas de la Distribución de Poisson

Las tablas están limitadas para unos valores de la media de ocurrencia de sucesos, λ. Así para el ejemplo, se observa una muestra de una tabla en la siguiente figura:

En la cual se busca en la media o λ = 6 y luego desde allí hacia abajo hasta x=3, con lo cual se tiene la probabilidad P(X ≤ 3) = 0.1512, como se había calculado en el ejemplo.

Software en vez de Tablas para la Distribución de Poisson

Al contrario de las las tablas, ya no se tiene la limitación para unos valores de la media de ocurrencia de sucesos, λ. Con nuestra propia calculadora Calculadora Distribución de Poisson, se ingresan los datos en la sección Acumulada, como se observa en la siguiente figura:

Aproximación de la Binomial por medio de la Distribución de Poisson

La distribución de Poisson se puede considerar como una forma limitante de la binomial cuando n es grande (n → ∞) y p pequeño (p → 0), o en caso de n grande y p cercano a 1 (p → 1), se puede usar la distribución de Poisson para aproximar probabilidades binomiales intercambiando lo que se defina en el problema desde la binomial como éxito o fracaso. De esta forma:

Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad b(x;n,p).
Cuando (n → ∞), (p → 0) y np → λ permanece constante, entonces
b(x;n,p) → p(x;λ)

Ejemplo. Si una vacuna genera una protección 99,98% efectiva contra una enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se enfermen exactamente 6 individuos de una población de 15.000 personas vacunadas?

Solución. Como la efectividad es del 99,98%, luego el 0,02% de los vacunados contraerían la enfermedad, o p = 0,0002:
λ = np = (15.000)(0,0002)=3; X = 6 ⇒ P(X=6) = (e−3 ∙ 36/6!) = 0,0504


Ahora evalúese con nuestra Simulación Quiz Interactivo de la distribución de Poisson

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