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PROBABILIDAD: TÉCNICAS DE CONTEO PARTE II

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17. Permutación

Hasta aquí hemos contado listas de elementos de diversas longitudes, en las que permitimos o prohibimos la repetición de los elementos. Un caso especial de este problema es contar las listas de longitud n formadas por un conjunto de n objetos, en las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se desea tener n objetos en listas, usando cada objeto exactamente una vez en cada lista. Según el principio de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es de:

(n)n =
n (n-1) (n-2) ... 2 1

La cantidad (n)n es n factorial y se expresa en matemáticas como n!. Por ejemplo 5! = 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120. Recuerde que 1! = 0! = 1
 

De esta forma una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Arreglos que se puedan distinguir:
 
a. Si se quieren arreglar objetos, donde todos los objetos sean diferentes entre sí, la permutación (el número de arreglos que se pueden obtener) es n ! (n factorial)
Veamos un ejemplo :

Ejemplo 1:

Cinco amigos que están en una piscina, después de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer cola para arrojarse de nuevo?

Observe que para la primera posición hay cinco personas, cuatro para la segunda, etc.

De esta forma tenemos que el número de formas distintas  de hacer cola es:

V5,5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120

Como observamos, en este caso intervienen a la vez todos los elementos y únicamente varía el orden de colocación.

Ejemplo 2: Queremos permutar (arreglar) las letras abc. Cuáles arreglos se obtienen ?
abc, acb, bac, bca, cab y cba . Son 6 permutaciones diferentes. También hubiéramos podido decir :
Son 3 letras diferentes a, b y c por lo tanto son 3 ! (3 factorial) permutaciones
3 ! = 3·2·1 = 6
 Vemos que hay efectivamente 3 opciones para la primera posición (cualquiera de las letras a,b o c), luego quedan sólo dos opciones para la segunda posición (por ejemplo si se escogió a para la primera posición, quedarían b o c para la segunda posición), y quedaría una sola letra para la tercera posición.

Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:

 - En cada grupo (o lista) están los n elementos.

 - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por Pn y es igual a n!

Ejemplo 3:

En un campeonato suramericano de Fútbol llegan a un cuadrangular final los cuatro seleccionados de Brasil, Argentina, Colombia y Uruguay. Formar las diferentes clasificaciones para los cuatro primeros puestos del torneo. ¿Cuántas hay?

Representamos por sus iniciales a cada seleccionado y mediante un diagrama de árbol se obtiene:

De aquí vemos que hay : P4 = 4! = 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.


b. Las variaciones sin repetición también se pueden representar con factoriales, según: Si se quieren arreglar n objetos diferentes, pero se van a tomar r objetos de ellos los cuales son distinguibles entre sí, entonces :

 Vn,r =

 

Ejemplo : De cuántas formas puede seactuario.com colocar a 3 programadores de sistemas en 3 diferentes ciudades. Si los programadores están disponibles para cualquiera de 5 ciudades.
 
Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5 posibles ciudades a donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas podríamos ubicarlos?
 


Tenemos 60 formas posibles de ubicarlos en las 5 ciudades. Parece que de todos modos va tocar pensar bien dónde ubicarlos...
 
Ejemplo: ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocho letras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y guardando el mismo orden?

Cmo las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra. Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete elementos:

P7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras diferentes

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden sentar nueve  personas en una mesa circular?

Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una persona y permutamos todas las demás:

P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas

A estas permutaciones se las denomina permutaciones circulares de n elementos y se representan por PCn.

18. Permutaciones con repetición

Si se quiere permutar (arreglar) objetos, dentro de los cuales hay varios repetidos, entonces se pueden contar las posibilidades de arreglos diferentes usando:
 


Ejemplo: Supongamos que queremos hacer un arreglo de luces, con 4 bombillas amarillas, 3 bombillas azules y 3 rojas. En total se tienen 10 bombillas. Pero, ¿qué arreglos de colores puedo tener?
Uno de los arreglos podría ser así:

Pero si se intercambian las dos primeras bombillas amarillas entre sí vemos:

 

¡ No se aprecia el cambio ! Por lo tanto, ese cambio no cuenta como arreglo, de modo que al aplicar la fórmula anterior se descuentan todos esos arreglos que son iguales entre sí, de forma tal que las posibilidades de arreglos diferentes que se tienen son:

 

Ejemplo: Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100 centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de cruz. ¿Cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre estén dos en posición de cara y tres en posición de cruz?

Las ordenaciones posibles son:

CCXXX
CXCXX
CXXCX
CXXXC
XCCXX
XCXCX
XCXXC
XXCCX
XXCXC
XXXCC

Si las monedas son distinguibles tendríamos: P5 = 5! =120 formas distintas

Pero como son del mismo tipo de moneda, sólo se deben considerar una por cada 2!·3! = 12. En consecuencia, de las 120 permutaciones ordinarias iniciales solo tendremos:

120   =    5!     =   10
12       2!·3!

Esta es una permutación con repetición de cinco elementos, donde uno se repite tres veces y otro dos veces.

Definición y número de permutaciones con repetición.

 
Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces,..., el último nk veces (n1 +  n2 + ... + nk = n), son los distintos grupos (tb. arreglos o listas) que se pueden formar, de manera que:

 - En cada grupo de n elementos, el primer elemento está n1 veces; el segundo elemento está n2 veces,..., el último elemento está nk veces.

- Un grupo se diferencia de otro únicamente por el orden de colocación de sus elementos.

El número de permutaciones con repetición de n elementos dadas las condiciones anteriores es:

   

Ejemplo: El mismo caso de las monedas pero ahora con un total de 11 monedas en las que 6 están en posición de cara y 5 en posición de cruz. El número de ordenaciones posibles es de:

11!   =  11·10·9·8·7·6 =  462
6!·5!         6!·5·4·3·2·1

Ejercicio: Un apostador tiene el presentimiento de que en la próxima jornada futbolística (en un torneo nacional con 28 equipos) ganarán 9 equipos en casa, empatarán 3 y ganarán en campo contrario (de visitantes) 2. ¿Cuántas apuestas deberá realizar para asegurarse un pleno de 14?

Sln. / Se trata de las permutaciones de 14 elementos, entre los cuales:

 - El elemento 1 aparece 9 veces (ganadores locales)

 - El elemento 2 aparece tres veces (empates)

 - El elemento 3 aparece 2 veces (ganadores de visitante).

Las permutaciones son:

  14!    =  14·13·12·11·9 =  20020 apuestas
9!·3!·2!         9!·6·2

 

19. Combinaciones

19.1. Combinaciones sin repetición

Algunas veces estamos interesados en seleccionar sin orden específico r objetos de un total n. A esa selección se le denomina combinación Cn,m:

 

Cn,m =

Vn,m
 
      Pr  

.

Miremos un ejemplo:
Supongamos que se quiere escoger 3 ingenieros químicos dentro de un grupo de 8. Aclaremos además, que este procedimiento implica escoger al azar a estas 3 personas, sin ningún tipo de preferencia o condicionamiento por o hacia alguno de ellos. Entonces las formas de seleccionar a los 3 ingenieros de 8 posibles serán:

Hay 56 formas de seleccionar a los 3 ingenieros.

Ejemplo:

En una frutería ofrecen entre sus productos distintas mezclas con zumos de frutas. El cliente puede seleccionar entre 6 zumos de frutas diferentes y obtener algún sabor en particular de la mezcla de dos zumos en partes iguales. ¿Entre cuántos sabores distintos puede el cliente hacer su pedido?

Sln/ Vamos a representar cada zumo con las letras A, B, C, D, E y F. Al mezclar dos zumos y teniendo en cuenta que el orden no influye, se podrían obtener los siguientes sabores:

AB BC CD DE EF
AC BD CE DF  
AD BE CF    
AE BF      
AF        

Es decir, 15 sabores diferentes.

AB BC CD DE            
AC BD CE DF            
AD BE CF              
AE BF                
AF                  

Luego  C6,2 = 15

¿Cómo podemos obtener este resultado matemáticamente?. Como vimos de la definición: Cn,m = Vn,m / Pn

Donde V6,2 =6! / (6-2)! =  6!/ 4! = 30

y:   P2 = 2! = 2

De aquí:

 C6,2 = 30 / 2 = 15

¿Qué pasa si se deciden ofrecer sabores combinando 3 zumos de frutas?

En este caso tendremos C6,3, aplicando la ecuación directamente tendremos:

C6,3 =  

     6!    =  6·5·4·3! = 20
 (6-3)!·3!  3!·6

Es decir 20 sabores diferentes.


Ejemplo:

Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 15 personas para cubrir tres cargos administrativos. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar?

Sln:/ Teniendo en cuenta que para este caso en particular no influye el orden, se trata de una combinación C15,3:

b. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar si se retiran tres de los aspirantes?

Rta: 220 grupos distintos

Ejemplo:Cuántos triángulos distintos se pueden formar con ocho puntos en el plano si nunca hay tres de ellos alineados?

Sln./ Para que dos triángulos sean distintos, se tienen que diferenciar al menos en un vértice. Por consiguiente, como no influye el orden en que se tomen los vértices, el número de triángulos distintos que se puede formar es C8,3.

Ejemplos varios

Veamos algunos ejemplos adicionales de lo que hemos visto.
1.
a. Encontremos los arreglos diferentes que se pueden hacer con las letras de la palabra PESO
En este caso de trata de una permutación de cuatro letras diferentes, todas distinguibles entre sí.
En este caso es como si tuviéramos 4 casillas disponibles para colocar en ellas las letras

4 3 2 1
= 24 arreglos

En la primera casilla se pueden colocar cualquiera de las 4 letras ya sea P,E,S, u O . Después de ubicada cualquiera de ellas, en la siguiente casilla tan sólo se puede ubicar una de las 3 letras restantes. Tras ubicada la segunda letra en la segunda casilla quedan disponibles 2 letras para la penúltima casilla y así en la última casilla sólo se puede colocar la última letra que queda libre. Luego multiplicando se obtiene el número de arreglos diferentes entre sí, en este caso 24.
 

b. Permutaciones con la palabra VACA.
Se tienen nuevamente cuatro letras pero esta vez dos de ellas son iguales y no se pueden distinguir entre sí, por lo tanto se deben descontar los arreglos que se vean iguales entre sí:

 

Si se hiciera el conteo de cada uno de ellos solo serían distinguibles entre sí, 12 .

2. Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los 6 números {1,3,4,5,6,7,8}.

a.  Si no se admiten repeticiones: para este ejemplo la forma de resolver el ejercicio es igual al planteado anteriormente: se tienen 6 números para colocar sólo en tres casillas. En una primera casilla puede ir cualquiera de los 7 números, en la segunda quedan cualquiera de 6 disponibles (no se admite repetir número) y en la última casilla cualquiera de 5


Entonces:
7 6 5
 = 210 posibles numeros de 3 dígitos
 

Para aclarar un poco más el ejemplo basta entender que al no admitir repetición de números, entonces el número de 3 dígitos 355 no es válido según la restricción impuesta debido a que el 5 se repite y esto no se acepta.
 

b. Con repetición: si este es el caso, entonces en cada una de las casillas puede ir cualquiera de los 7 números disponibles ya que las repeticiones sí son aceptadas.
Entonces:

7 7 7
 = 343 números  posibles, incluyendo también
       los que tienen cifras repetidas
 


c. Si se quiere que sean pares sin repeticiones: dentro de los números dados las posibilidades son que terminen en 4, en 6 o en 8, por lo tanto sólo hay 3 opciones para el último dígito y tras haber fijado este número sólo quedarían 6 números disponibles (no se admiten repeticiones) para la primera casilla y 5 para la segunda.
Entonces:

6 5 3
 = 90 posibles numeros pares

d. Si se quiere que sean pares con repeticiones:
Aún son 3 opciones para que sean pares {4,6,8}, pero ahora se admite que cualquiera de los 7 números disponibles se repita
7 7 3
 = 147 posibles numeros pares
 

3. En un talego hay 6 balotas blancas y 5 verdes.
a. Encontremos el número de formas de sacar 4 balotas del talego si pueden ser de cualquiera de los dos colores.
En este caso se va a realizar una selección, en ella no interesa el orden y sólo se trata sacar las balotas sin importar el color. Este es un ejercicio típico de combinación (selección) donde se busca sacar 4 balotas de 11.
Entonces:



Se pueden obtener 330 combinaciones.
a. Escoger 2 blancas y 2 verdes

hay 150 maneras de sacar 2 balotas blancas y 2 verdes


Ahora es momento de practicar y evaluarse con los temas tratados con el Cuestionario Técnicas de Conteo

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