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VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

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La media por sí sola no es suficiente para describir la forma de una distribución de probabilidad. Es muy importante conocer también la variabilidad o dispersión de las observaciones con respecto a la media.

La medida de variabilidad de ua variable aleatoria X que se obtiene mediante el cálculo del valor esperado de la función de la desviación de cada observación con respecto a la media, esto es, E(X − μ)2, es la Varianza de la variable aleatoria X o de la disribución de probabilidad X, y se denota como Var(X) o simbolicamente como σ2

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media μ. La varianza de X es

La raíz cuadrada de σ2 es la Desviación Estándar de X.


Ejemplo. El almacén "Baterias Mundial" que vende su propia marca de batería y da garantía sobre la misma, encuentra que mensualmente se tienen los siguientes reclamos por garantía:

Número de reclamos (x)0123
P(X) =0.710.210.070.01

Encuentre la varianza en el Número de reclamos por baterías.

En el tema de valor esperado se calculó ya la media, como μ = E(X) = 0.38, luego

σ2 = E(X − μ)2 = (0 − 0.38)2∙0.72 + (1 − 0.38)2∙0.21 + (2 − 0.38)2∙0.07 + (3 − 0.38)2∙0.01 = 0.4356

Otra forma más sencilla de calcular la varianza de una variable aleatoria, sea discreta o continua, es:

La varianza de una variable aleatoria X con media μ, es:

σ2 = E(X2) − μ2

Evalúe la varianza del ejemplo anterior mediante la última fórmula.:

Solución. Primero evalúese E(X2):

E(X2) = 0 2 ∙ 0.71 + 12∙0.21 + 22∙0.07 + 32∙0.01 = 0.580

Luego la varianza, es:

σ2 = E(X2) − μ2 = 0.580 − 0.382 = 0.4356


Ejemplo Variable aleatoria continua. Sea X una v.a. continua, según:

Encontrar la varianza de X, con la primera y con la segunda formula.

Solución. El valor esperado de X, es:

La varianza con la primera fórmula, es:

Para la segunda fórmula, se encuentra primero E(X2) :

y la varianza de X, es:

Evalúese ahora con el Quiz interactivo de Valor esperado y varianza de Variables aleatorias discretas y continuas.

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