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PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO

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Teniendo en cuenta que el valor esperado de una constante es la misma constante, se tienen algunas propiedades importantes del valor esperado, como:

Para cualquier constante α y variable aleatoria X,

E(αX) = α∙E(X)


Ejemplo: Se sabe que el valor esperado de la variable "Sueldo de los profesores de la Universidad San Marino es de $2.900.000". Por inicio de año, el rector decide incrementar el sueldo de todos los profesores en el 2%. ¿Cuál es el promedio de los nuevos sueldos?

Solución. Dado que con las condiciones iniciales, se tiene E(X) = 2.900.000, como luego todos los sueldos se incrementan en 2%, es decir, se multiplican por 1.02, entonces el nuevo valor esperado es
E(1.02X) = 1.02∙E(X) = 1.02∙2.900.000 = 2.958.000

Ejemplo. El almacén "Baterias Mundial" que vende su propia marca de batería y da garantía sobre la misma, encuentra que mensualmente se tienen los siguientes reclamos por garantía:

Número de reclamos (x)0123
P(X) =0.710.210.070.01

Si cada reclamo por garantí le genera un costo de $100.000, ¿Cuál es el valor esperado del costo por garantía?

Solución. El valor esperado de número de reclamos por garantía, es:
E(X) = 0∙0.71 + 1∙0.21 + 2∙0.07 + 3∙0.01 = 0.38 .

Se puede tomar otra variable Y = "Costo por garantía", como:

Costo de reclamos (y)0100.000200.000300.000
P(Y) =0.710.210.070.01

En este caso, el valor esperado de los costos mensuales de los reclamos, es
E(Y) = 0∙0.71 + 100.000∙0.21 + 200.000∙0.07 + 300.000∙0.01 = 38.000
que también se puede calcular como:
E(Y) = E(100.000∙X) = 100.000∙E(X) = 100.000∙0.38 = 38.000

La regla útil del valor esperado de α∙X se puede extender a α∙X + β

:

Para cualesquiera constantes α y β:

E(α∙X + β) = α∙E(X) + β

Ejemplo. Por los reclamos por garantía, se tiene un costo fijo mensual por cuestiones administrativas de $25.000, de tal forma que el costo total de garantías es
100.000∙X + 25.000
Luego el valor esperado del costo por garantía, es:

E(100.000∙X + 25.000) = 100.000∙E(X) + 25.000 = 63.000

Para una función g(x), también se puede calcular el valor esperado, según:

Sea X una variabe aleatoria con distribución de probabilidad f(x). El valor esperado de la función g(x), es:

Ejemplo. El número de automóviles que ingresa a un Autolavado un domingo soleado en la mañana, está dado según los datos históricos, por:

x67891011
P(X) =1/101/101/41/41/62/15

Sea g(X) = 3X − 10 la cantidad de dinero en euros que se le paga al operario. ¿Cuál es la ganancia esperada por el operario en esta jornada dominical específica?

Solución:

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