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ESPERANZA MATEMÁTICA

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Al tratar la media en la parte de introducción a la estadística, el método requería el uso de datos de la muestra o de la población de la cual se quería caracterizar con esta medida de tendencia central. Ahora se abordará la media o valor esperado de una variable aleatoria, y para estimar esta se requiere la distribución de probabilidad. No obstante, esta media también es un valor "central" de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Cuando tratamos de interpretar información numérica que tiene una amplia gama de valores, nos resulta adecuado resumir la información con un sólo número lo cual permite tener una idea general de dicha información. Se va a introducir el concepto on el siguiente ejemplo.

Ejemplo. En un examen conjunto de cálculo integral con 100 estudiantes, consistió en un cuestionario de 10 puntos. El puntaje más bajo realmente registrado fue un 2 y el más alto fue 10. La distribución de puntajes (de 2 a 10) se da en la siguiente tabla.

Puntaje2345678910
Conteo46121525151085

El director de Ciencias Básicas está interesado en el promedio o media de calificaciones obtenida en este examen por los estudiantes, y en el porcentaje de estudiantes en cada puntaje o calificación obtenida. La siguiente tabla muestra los porcentajes para cada puntaje:

Puntaje2345678910
Porcentaje de estudiantes4%6%12%15%25%15%10%8%5%

Se puede reinterpretar esta tabla como una función de probabilidad de una variable aleatoria X. Suponga que se elige al azar un puntaje X de los obtenidos por el grupo de estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad P(X=x) = f(x) de que el puntaje sea x? La siguiente tabla repite la anterior en formato de función de probabilidad.

Puntaje x2345678910
Probabilidad P(X=x) = f(x)0.040.060.120.150.250.150.100.080.05

Las tablas anteriores muestran la distribución de calificaciones, pero aún se desea saber el "promedio" de las mismas. La palabra "promedio" está entre comillas aquí porque hay diferentes tipos de promedios que se pueden calcular. El "promedio" ya estudiado es la media, que se calcula al sumar todos los 100 puntajes y se divide entre 100. Realmente no se deben agregar los 100 puntajes por separado, ya que se pueden agregar 4 puntajes de 2 multiplicando 4 x 2, agregar 6 puntajes de 3 multiplicando 6 x 3, y así sucesivamente. La media está dada por

media de calificaciones = (2 ∙ 4 + 3 ∙ 6 + 4 ∙ 12 + 5 ∙ 15 + 6 ∙ 25 + 7 ∙ 15 + 8 ∙ 10 + 9 ∙ 8 + 10 ∙ 5)/100 = 6.06

que es lo mismo como porcentajes o probabilidades que:

media de calificaciones = 2 ∙ 0.04 + 3 ∙ 0.06 + 4 ∙ 0.12 + 5 ∙ 0.15 + 6 ∙ 0.25 + 7 ∙ 0.15 + 8 ∙ 0.10 + 9 ∙ 0.08 + 10 ∙ 0.05 = 6.06

Luego se tiene que media = ∑ x ∙ P(X = x) = ∑ x ∙ f(x)

En el anterior ejemplo se ha tratado con una variable discreta. NO obstante, el concepto es similar para una variable continua pero en este caso se cambia la sumatoria por una integral. Se tiene entonces la siguiente definión

Definición. Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) . La media o valor esperado de X es

μ = E(X) = ∑ x ∙ P(X = x) = ∑ x ∙ f(x), evaluado sobre S

si X es discreta, y

μ = E(X) = ∫ x ∙ P(X = x) = ∫ x ∙ f(x), evaluado sobre S

si X es continua.

Ejemplo. En el estudioen el cual se contaron el número de niños de un parto dado, la funció de probabilidad es:

Numero de niños (x)123
f(x) = P(X=x)0.97610.02310.0008

la media del número de niños por parto, es

μ = E(X) = ∑ x ∙ f(x) = 1 ∙ 0.9761 + 2 ∙ 0.0231 + 3 ∙ 0.0008 = 1.0247

Ejemplo. Suponga que una variable aleatoria X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 o 4. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados de X se muestran en la siguiente tabla:

(x)1234
f(x) = P(X=x)0.10.40.30.2

la media de esta variable aleatoria, es

μ = E(X) = ∑ x ∙ f(x) = 1 ∙ 0.1 + 2 ∙ 0.4 + 3 ∙ 0.3 + 4 ∙ 0.2 = 2.6

Ejemplo. Sea X una variable aelatoria con función de densidad dada por:

entonces el valor esperado de X, es:

Aquí se cambió la k por j = k − 1, y se reemplazó la función exponencial haciendo uso del hecho que:

Ejemplo. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f.d.p. según:

su valor esperado es:

Si tiene dudas sobre el proceso de integración, se le recomienda consultar el tema de Integración por partes y el de Integrales impropias

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