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DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

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Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con cierta probabilidad. Así, en el ejemplo de la variabla aleatoria que toma la cantidad de caras cuando se lanzan dos monedas, que se vuelve a mostrar a continuación:

Resultado original Número de Caras
CC 2
CS 1
SC 1
SS 0

Así, la variable aleatoria discreta X que toma el número de caras, toma el valor 2 en uno de los cuatro posibles resultados, es decir, con una probabilidad de 1/4. Al construir una tabla con las probabilidad, se tiene:

x2 10
P(X=x)1/4 1/21/4

Esta tabla asigna una probabilidad para cada resultado individual del espacio muestral, y una vez que se tenga esa función, se puede usar para encontrar la probabilidad de cualquier evento sumando las probabilidades de los resultados individuales en el evento. Por ejemplo para hallar la probabilidad de obtener menos de 2 caras, o en notación de la variable aleatoria P(X<2), esta se puede determinar como

P(X<2) = P(X=1) + P(X = 0) = 1/2 + 1/4 = 3/4

o también como la probabilidad contraria, caso en el cual se tiene

P(X<2) = 1 − P(X = 2) = 1 − 1/4 = 3/4

Si X es una variable aleatoria discreta, se asocia a esta una nueva función f, de la forma f(x) = P(X=x), con lo que al conjunto de pares ordenados (x,f(x) se le denominada función de probabilidad, de masa de probabilidad o Distribución de Probabilidad de la variable X.

Definición. El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad, de masa de probabilidad o Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X, si para cada resultado x posible,

i. f(x) = P(X = x) ≥ 0

ii. ∑f(x) =1, sobre todos los valores que tome X.

Para variables aleatorias discretas con un número finito de resultados, la función de probabilidad se puede dar mediante una tabla como se ilustró en el último ejemplo. Observe que la suma de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable aleatoria, es uno, como indica la condición ii de la definición.

Ejemplo (Tomado de Matthew Hasset). En un estudio a partir de una gran muestra, se contaron el número de niños de un parto dado. Se encontró en este estudio que la funció de probabilidad es:

Numero de niños (x)123
f(x) = P(X=x)0.97610.02310.0008

Si una variable aleatoria discreta tiene un número muy grande o infinito de posibles resultados, en este caso no es posible representar toda la distribución de probabilidad con una tabla simple, por lo cual f(x) debe ser especificado de alguna otra manera, generalmente por una fórmula.

Ejemplo. En una determinada máquina tragamonedas, la probabilidad de ganar en una jugada individual es 0,05. Definamos a X como el número de intentos fallidos antes de la primera victoria. Si asumimos que las jugadas sucesivas son Independiente, la probabilidad de k juegos fallidos (o fracasos) antes de la primera victoria está dada por la regla de multiplicación para eventos independientes.

f(k) = P(X = k)= [P(fracaso)]k∙P(exito)= 0,95k∙ 0,05,       k = 0, 1, 2, ...,

Ejemplo. Suponga que una variable aleatoria X puede tomar los valores 0, 1,2,3 o 4. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados de X se muestran en la siguiente tabla:

(x)1234
f(x) = P(X=x)0.10.40.30.2

Dibuje el histograma de probabilidad

Solución. El histograma se puede ver haciendo clic en el boton.

 



Es momento de practicar con nuestro Ejercicio interactivo de Distribución de Probabilidad de Variables Aleatorias Discretas


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