Guía 1: Factorización -parte II-. |
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Trinomios de la forma: ax2 + bx + cEl trinomio ax2+bx+c se debe llevar a la forma: s2+k(s)+d, la cual se factoriza así: s2+k(s)+d=(s+r1)(s+r2); donde r1+r2=k, y, r1.r2=dEjemplo 1
Otro Método: Aplicando acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)En este caso al factorizar el trinomio 3x2 + 8x + 4 se identifica a 3 = ac y 4 = bd. Luego se deben buscar los divisores de 4 que serán obviamente los factores b y d, así como los divisores de 3 que serán los correspondientes factores a y c:Divisores de 3: 3 y 1 Divisores de 4: 2 y 2, 4 y 1, Luego hay dos posibilidades para b y d. Tomando el primer caso: Luego: 3x2 + 8x + 4 = (3x + 2)(x + 2) que se debe probar efectuando el producto de los polinomios, con lo cual queda concluida la factorización. Ejemplo 2 Factorizar: x2−10x + 25.Como este trinomio ya tiene la forma general requerida, entonces: x2−10x + 25 = (x−5)(x−5) = (x−5)2 Trinomio Cuadrado perfecto T.C.P.El T.C.P. es el resultado del binomio al cuadrado:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Es decir, Cuadrado del primer término, más o menos el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Ejemplos: Verificar si los siguientes trinomios son T.C.P. y factorizar: a) x2 − 4xy + 4y2 Los términos x2, 4y2 son cuadrados perfectos de x y de 2y respectivamente. Al efectuar 2(x)(2y) = 4xy , luego sí es un T.C.P y se factoriza así: x2 − 4xy + 4y2 = (x − 2y)2. b) 16(3x − 7)2 + 24(3x − 7) + 9 El término 16(3x − 7)2 es cuadrado de 4(3x − 7), el término 9 es cuadrado de 3, luego al efectuar el doble producto de las raíces: 2* 4(3x − 7)*3 = 24(3x − 7), luego sí es un T.C.P. y se factoriza así: 16(3x − 7)2 + 24(3x − 7) + 9 = [4(3x − 7)+3]2. Al simplificar la expresión anterior se llega a: 16(3x − 7)2 + 24(3x − 7) + 9 = (12x − 28+3)2 = (12x − 25)2. Ejemplo a5 − 2a4 + a3 = a3(a2 − 2a + 1) = a3(a − 1)2 : Factor Común y Trinomio Cuadrado PerfectoEjercicios1) (a+2b) + ma + 2bm2) 2xz + 2ax + z + a 3) 3(a-b)2 + 5(a − b) 4) (c+3)2 + 5c + 15 + 2ac + 6a 5) (2b+2c)2+ b + c 6) (am+3an)3+(2m+6n)2 7) xy+4x+ay+4a − by − 4b 8) x2 − y2 − 5x+5y 9) 2w2 − 15w −8 10) x4 −7 11) 4n x2n − 9my2m 12) x2y3 − x4y6 13) x2 − x − 42 14) 6t3 − 7t2 − 20t 15) 15m2 − 22m − 16 16) x5 + 15x4 + 56x3 17) c4d4 − 12c2d2 + 20 18) 4x2 − y2 + 4x − 2y 19) 3(a − b)2 + 5(a − b) + 2 20) a4 − a3 + a − 1 21) x2 − 10 22) mp12 − m5 23) − x2 + 4x + 165 24) x6 + x5 − x4 − x3 25) 36 + 3w − 5w2 26) x2 − y2 − 6x+9 27) 6 − x2 28) 6x2+11x − 10 29) x2 + x + 1 30) 12x2 − 22x − 70 31) 2x2 − x − 1 32) a2 − 2a − 2b + ab 33) x2 − (a + b)2 34) 35 + 6r − 8r2 35) 5x3 − 36x2 + 7x 36) 35x2 + 9x − 2 37) 25p2 38) − 40pq2 + 16q4 39) b3 + b2 − b − 1 40) (2t − v)s + 3u(2t − v) 41) a2 − 2a − 2b + ab 42) a2b4 − c2 43)3a 4 − 27y4 44) b2 − (y+a)2 45) −5 + x2 46) ax2 + 4ax + 4a 47) 8m2 + 6m − 9 48) −3x2 − x + 10
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